Ультрафильтр на решётке  — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

Определение

Собственный фильтр на решётке является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (т.е. отличном от ) фильтре.

Набор подмножеств множества называется ультрафильтром на , если

• для любых двух элементов , их пересечение также лежит в
• для любого элемента , все его надмножества лежат в
• для любого подмножества либо , либо

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах , заданную как , если , и в противном случае, то является конечно-аддитивной вероятностной мерой на .

Ультрафильтры в булевых алгебрах

Если решётка является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента либо , либо

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

Примеры

• любой главный фильтр является ультрафильтром
• подмножество алгебры Линденбаума — Тарского полной теории , состоящее из теорем

Свойства

• ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
• любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
• если — главный ультрафильтр на множестве , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
• если — неглавный ультрафильтр на множестве , то пересечение всех его элементов пусто.

Каждый фильтр содержится в ультрафильтре

Утверждение о том, что каждый фильтр содержится в ультрафильтре не может быть доказано без использования аксиомы выбора. Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.

Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.

Приложения

• Ультрафильтры используются в ряде конструкций теории моделей, а именно для формулировки понятия ультрапроизведения.
• Ультрафильтры также фигурируют в формулировке теоремы Стоуна и в явном построении компактификации Стоуна — Чеха.
• Ультрапредел для метрических пространств — обобщение сходимости по Громову — Хаусдорфу

Топология

Нестандартный анализ