Фактор графа G — это стягивающий подграф, т.е. подграф, имеющий те же вершины, что и граф G. k-фактор графа — это стягивающее k-регулярный подграф, а k-факторизация разбивает рёбра графа на непересекающиеся k-факторов. Говорят, что граф G k-факторизуем, если он позволяет k-разбиение. В частности, 1-фактор — это совершенное паросочетание, а 1-раложение k-регулярного графа — это рёберная раскраска k цветами. 2-фактор — это набор циклов, которые захватывают все вершины графа.

1-факторизация

Если граф 1-факторизуем (т.е. имеет 1-факторизацию), то он должен быть регулярным графом. Однако не все регулярные графы являются 1-факторизуемыми. k-регулярный граф является 1-факторизуемым, если его хроматический индекс равен k. Примеры таких графов:

• Любой регулярный двудольный граф^[1][2]. С помощью теоремы Холла о свадьбах можно показать, что k-правильный двудольный граф содержит совершенное сочетание. Можно тогда удалить совершенное паросочетание и (k − 1)-регулярный двудольный граф и продолжить тот же процесс рекурсивно.
• Любой полный граф с чётным числом вершин (см. ниже)^[3]. Однако имеются k-регулярные графы, хроматический индекс которых равен k + 1, и эти графы не 1-факторизуемы. Примеры таких графов:
• Любой регулярный граф с нечётным числом вершин.
• Граф Петерсена.

Полные графы

1-факторизация полного графа соответствует разбиению на пары в круговых турнирах. 1-факторизация полных графов является специальным случаем теоремы Бараньяи^[en] относительно 1-факторизации полных гиперграфов.

Один из способов построения 1-факторизации полного графа помещает все вершины, кроме одной, на окружности, образуя правильный многоугольник, оставшаяся же вершина помещается в центр окружности. При этом расположении вершин процесс построения 1-фактора заключается в выборе ребра e, соединяющего центральную вершину с одной из вершин на окружности, затем выбираются все рёбра, перпендикулярные ребру e. 1-факторы, построенные таким образом, образуют 1-факторизацию графа.

Число различных 1-факторизаций K₂, K₄, K₆, K₈, ... равно 1, 1, 6, 6240, 1225566720, 252282619805368320, 98758655816833727741338583040, ... (последовательность A000438 в OEIS).

Гипотеза об 1-факторизации

Пусть G — k-регулярный граф с 2n вершинами. Если k достаточно велико, известно, что G должен быть 1-факторизуем:

• Если k = 2n − 1, то G является полным графом K_2n, а потому 1-факторизуем (см. выше).
• Если k = 2n − 2, то G можно получить путём удаления совершенного паросочетания из K_2n. Снова G является 1-факторизуемым.
• Четвинд и Хилтон^[4] показали, что при k ≥ 12n/7 граф G 1-факторизуем.

Гипотеза об 1-факторизации ^[5] является давно выдвинутой гипотезой, утверждающей, что значение k ≈ n достаточно велико. Точная формулировка:

• Если n нечётно и k ≥ n, то G 1-факторизуем. Если n чётно и k ≥ n − 1, то G 1-факторизуем.

Гипотеза сильного заполнения^[en] заключает в себе гипотезу об 1-факторизации.

Совершенная 1-факторизация

Совершенная пара 1-факторизаций — это пара 1-факторов, объединение которых даёт гамильтонов цикл.

Совершенная 1-факторизация (P1F) графа — это 1-факторизация, имеющая свойство, что любая пара 1-факторов является совершенной парой. Совершенная 1-факторизация не следует путать с совершенным паросочетанием (которое также называют 1-фактором).

В 1964 году Антон Котциг высказал предположение, что любой полный граф K_2n, где n ≥ 2, имеет совершенную 1-факторизацию. Известно, что следующие графы имеют совершенные 1-факторизации^[6]:

• Бесконечное семейство полных графов K_2p, где p — нечётное простое (Андерсон и Накамура, независимо),
• Бесконечное семейство полных графов K_{p + 1}, где p — нечётное простое
• спорадически другие графы, включая K_2n, где 2n ∈ {16, 28, 36, 40, 50, 126, 170, 244, 344, 730, 1332, 1370, 1850, 2198, 3126, 6860, 12168, 16808, 29792}. Есть и более свежие результаты здесь.

Если полный граф K_{n + 1} имеет совершенную 1-факторизацию, то полный двудольный граф K_n,n также имеет совершенную 1-факторизацию^[7].

2-факторизация

Если граф 2-факторизуем, то он должен быть 2k-регулярным для некоторого целого k. Юлиус Петерсен показал в 1891, что это необходимое условие является также достаточным — любой 2k-регулярный граф является 2-факторизуемым^[8].

Если связный граф является 2k-регулярным и имеет чётное число рёбер, он также может быть k-факторизуем путём выбора двух факторов, являющихся чередующимися рёбрами эйлерова цикла^[9]. Это относится только к связным графам, несвязные контрпримеры содержат несвязное объединение нечётных циклов или копий графа K_2k+1.

Примечания

Литература

Литература для дальнейшего чтения