Факторкольцо́ — в абстрактной алгебре это кольцо классов вычетов некоторого кольца по модулю его идеала .

Обозначается .

Классы вычетов по модулю идеала определяются как смежные классы кольца по аддитивной подгруппе . Класс вычетов, содержащий элемент обычно обозначается . Два различных элемента кольца, принадлежащие одному классу вычетов, называются равными по модулю идеала.

Операции в факторкольце (сложение и умножение) определяются равенствами:

Связанные теоремы

• Теорема о гомоморфизме колец:

Если  — гомоморфизм кольца на кольцо , то ядро является идеалом кольца , причём кольцо изоморфно факторкольцу .

Обратно: если  — идеал кольца , то отображение , определяемое условием является гомоморфизмом кольца на с ядром .

Теорема аналогична теореме о гомоморфизме групп.

• Факторкольцо кольца целых чисел по модулю главного идеала, порождённого простым числом , является полем.

• Идеал кольца является простым (максимальным) в том и только в том случае, когда факторкольцо является целостным кольцом (полем).

См. также

• Факторгруппа
• Факторалгебра
• Факторполе

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• М. Атья, И. Макдональд Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972. — 160 с.
• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля (в двух томах). — М.: Мир, 1988. — 430 с.