Жорданов тотиент или Функция Жордана[1] — количество -кортежей натуральных чисел меньших либо равных , образующих вместе с набор взаимно простых (в совокупности) чисел. Функция является обобщением функции Эйлера, которая равна . Функция носит имя французского математика Жордана.
Определение
Функция Жордана мультипликативна и может быть вычислена по формуле
- , где пробегает простые делители числа .
Свойства
- ,
- что можно записать на языке свёрток Дирихле как[2]
- ,
- а через обращения Мёбиуса как
- .
- Поскольку производящая функция Дирихле равна , а производящая функция Дирихле равна , ряд для превращается в
- .
- .
- ,
и при исследовании определения (обратим внимание, что каждый множитель в произведении
по простым является круговым многочленом ), можно показать, что арифметические функции, определённые как или ,
являются целочисленными мультипликативными функциями.
- . [3][4]
Порядок групп матриц
Полная линейная группа матриц порядка над имеет порядок[5]
Специальная линейная группа порядка над имеет порядок
Симплектическая группа матриц порядка над имеет порядок
Первые две формулы были открыты Жорданом.
Примеры
Списки в OEIS
J2 в A007434,
J3 в A059376,
J4 в A059377,
J5 в A059378,
от J6 до J10 в списках A069091 — A069095.
Мультипликативные функции, определённые отношением
J2(n)/J1(n) в A001615,
J3(n)/J1(n) в A160889,
J4(n)/J1(n) в A160891,
J5(n)/J1(n) в A160893,
J6(n)/J1(n) в A160895,
J7(n)/J1(n) в A160897,
J8(n)/J1(n) в A160908,
J9(n)/J1(n) в A160953,
J10(n)/J1(n) в A160957,
J11(n)/J1(n) в A160960.
Примеры отношений J2k(n)/Jk(n):
J4(n)/J2(n) в A065958,
J6(n)/J3(n) в A065959
и
J8(n)/J4(n) в A065960.
Примечания
- ↑ Существуют и другие функции Жордана. Так, Мерзляков пишет: «Теорема. Существует „Функция Жордана“ со следующим свойством: всякая конечная группа G из содержит абелеву нормальную подгруппу A с индексом .»
- ↑ Sándor, Crstici, 2004, с. 106.
- ↑ Holden, Orrison, Varble.
- ↑ Формула Гегенбауэра
- ↑ Andrica, Piticari, 2004.
Литература
Ссылки
- Мерзляков Ю.И. Рациональные группы. — Москва: «Наука», 1980. — (Современная алгебра).