В теории обыкновенных дифференциальных уравнений, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая может быть использована как доказательство стабильности равновесия уравнения. Названа в честь русского математика Александра Ляпунова . Функции Ляпунова имеют важное значение для теория устойчивости и теория управления . Аналогичная концепция появляется в общей теории пространства состояний цепей Маркова, как правило, под названием функция Ляпунова-Фостера.

Для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является необходимым и достаточным условием для стабильности. Хотя нет общей методики построения функций Ляпунова для обыкновенных дифференциальных уравнений, во многих конкретных случаях, конструкция функций Ляпунова известна. Например, квадратичной функции достаточно для систем с одной переменной, решение определенного линейного матричного неравенства обеспечивает функцию Ляпунова для линейных систем. Законы сохранения могут быть использованы для построения функций Ляпунова для физической системы.

Неформально, функция Ляпунова - это функция, которая принимает положительные значения всюду, за исключением точки равновесия, и уменьшается (или не растет) вдоль каждой траектории обыкновенного дифференциального уравнения. Основное преимущество метода анализа устойчивости систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе функций Ляпунова заключается в том, что решение системы уравнений (аналитическое или численное) не нужно.

Определение кандидата функции Ляпунова

Пусть

Непрерывные скалярная функция называется кандидатом функции Ляпунова если локально является положительно опрежелённой функцией , т.е.

где окрестность

Точка равновесия

Пусть

будет произвольной автономной динамической системой с точкой равновесия :

Всегда существует преобразование координат , такое что:

Тогда новая система имеет точку равновесия в начале координат.

Теоремы Ляпунова для автономных систем

Пусть

является точкой равновесия ситемы автономных дифференциальных уравнений

И пусть

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова .

Стабильность точки равновесия

Если кандидат-функция Ляпунова является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:

в некоторой окрестности точки , тогда точка равновесия является стабильной.

Локальная асимптотическая стабильность

Если кандидат-функция Ляпунова является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:

в некоторой окрестности точки , тогда точка равновесия является локально асимптотически стабильной .

Глобальная асимптотическая устойчивость

Если кандидат-функция Ляпунова является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:

тогда точка равновесия глобально асимптотически стабильная.

Кандидат-функция Ляпунова является радиально неограниченной если

.

Пример

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на :

Принимая во внимание функция | x | есть всегда неотрицательна в окрестности начала координат, то она будет естественным выбором кандидат-функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть на . Тогда,

Это показывает что точка равновесия дифиренциального уравнение является асимптотически стабильной в окрестности начала координат.

Примечания

• Weisstein, Eric W. Lyapunov Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Khalil, H.K. Nonlinear systems. — Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996.