Пусть , дифференцируема в точке

Матрица из частных производных координатных функций данного отображения в точке называется матрицей Якоби в этой точке.

Якобиан — функциональный определитель матрицы с элементами , где — функции, имеющие непрерывные частные производные в некоторой области А; обозначение:.

Введён К. Якоби (1833, 1841). Если, например, n = 2, то система функций задаёт отображение области, лежащей на плоскости ,на часть плоскости Роль Якобиана для этого отображения во многом аналогична роли производной для функции одной переменной.Например, абсолютное значение Якобиан в некоторой точке М равно коэффициенту искажения площадей в этой точке (т. е. пределу отношения площади образа окрестности точки М к площади самой окрестности, когда размеры окрестности стремятся к нулю). Якобиан в точке М положителен, если отображение (1) не меняет ориентации в окрестности точки М, и отрицателен в противоположном случае. Если Якобиан не обращается в нуль в области и функция, заданная в области (образе ), то (формула замены переменных в двойном интеграле). Аналогичная формула имеет место для кратных интегралов. Если Якобиан отображения (1) не обращается в нуль в области Д, то существует обратное отображение