Axiom — свободная система компьютерной алгебры общего назначения. Она состоит из среды интерпретатора, компилятора и библиотеки, описывающей строго типизированную, математически правильную иерархию типов.

История

Разработка системы была начата в Richard Dimick Jenks)^[1]. Изначально система называлась Scratchpad. Проект развивался медленно и в основном рассматривался как исследовательская платформа для разработки новых идей в вычислительной математике.

В 90-х система была продана компании Numerical Algorithms Group (NAG), получила название Axiom и стала коммерческим продуктом. Но по ряду причин система не получила коммерческого успеха и была отозвана с рынка в октябре 2001.

NAG решила сделать Axiom свободным программным обеспечением и открыла исходные коды под модифицированной лицензией BSD.

В OpenAxiom и FriCAS.

Разработка системы продолжается, новые версии выходят каждые два месяца^[2].

Философия проекта

Технология литературного программирования Кнута используется по всему исходному коду. Проект Axiom планирует использовать проверенные технологии (такие как Coq и ACL2) для доказательства корректности алгоритмов.

Особенности

В Axiom все объекты имеют тип. Примерами типов являются математические структуры (такие как кольца, поля, многочлены), а также структуры данных из вычислительной техники (например, списки, деревья, хеш-таблицы).

Функция может получить тип в качестве аргумента, и её возвращаемое значение также может быть типом. Например, Fraction — функция, получающая IntegralDomain в качестве аргумента, и возвращающая поле отношений своего аргумента. В качестве другого примера кольцо матриц действительных чисел может быть построено как SquareMatrix(4, Fraction Integer). Конечно, если работать в этом домене, 1 интерпретируется как единичная матрица и A^-1 позволяет получить обратную матрицу A, если она существует.

Некоторые операции могут иметь одинаковые имена, и тогда типы аргументов и результата используются для определения того, какая операция применяется, подобно тому, как в ООП.

Язык расширений Axiom называется SPAD. Вся математическая база Axiom написана на этом языке. Интерпретатор принимает почти такой же язык.

SPAD в дальнейшем разрабатывался под именем A# и позже Aldor. Последний, кроме того, может быть использован как альтернативный язык расширений. Однако, следует учесть, что он распространяется под другой лицензией.

Примеры

3j-символы

Вычисление 3j-символов и коэффициентов Клебша-Гордана.

j3Sum (j1, j2, j3, m1, m2, m3) ==
  maxz := reduce (min, [j1+j2-j3, j1-m1, j2+m2])
  minz := max(0, max ( -(j3-j2+m1), -(j3-j1-m2) ))
  minz > maxz => 0
  maxz < 0    => 0
  sum ( (-1)^(z+j1-j2-m3) / _
    ( factorial(z) * factorial(j1+j2-j3-z) * factorial(j1-m1-z) * _
      factorial(j2+m2-z) * factorial(j3-j2+m1+z) * factorial(j3-j1-m2+z) ), _
    z=minz..maxz)
 
j3 (j1, j2, j3, m1, m2, m3) ==
  m1 + m2 + m3 ~= 0  => 0
  abs(j1 - j2) > j3  => 0
  j1 + j2 < j3       => 0
  abs(m1) > j1       => 0
  abs(m2) > j2       => 0
  abs(m3) > j3       => 0
  not integer? (j1+j2+j3) => 0
  sqrt ( _
    factorial(j1+j2-j3) * factorial(j1-j2+j3) * factorial(-j1+j2+j3) / _
                          factorial(j1+j2+j3+1) * _
        factorial(j1+m1) * factorial(j1-m1) * _
        factorial(j2+m2) * factorial(j2-m2) * _
        factorial(j3+m3) * factorial(j3-m3)
    ) * j3Sum (j1, j2, j3, m1, m2, m3)       
 
clebschGordan (j1, j2, j, m1, m2, m) ==
    (-1)^(j1-j2+m) * sqrt(2*j+1) * j3(j1, j2, j, m1, m2, -m)

Общая теория относительности

«Аксиома» выводит символы Кристоффеля и тензоры Римана и Риччи в решении Шварцшильда.

x   := vector ['t, 'r, '%theta, '%phi];
dim := #x;
 
%nu     := operator '%nu;
%lambda := operator '%lambda;
lg := matrix [
    [exp(%nu r),       0,         0,    0], _
    [       0,  - exp(%lambda r), 0,    0], _
    [       0,      0,          -r^2,   0], _
    [       0,      0,            0,  -r^2*sin(%theta)^2]  _
    ];
 
ug := inverse lg;
 
grSetup(metric, names) ==
    free x
    free dim
    free lg
    free ug
    x   := names
    dim := #x
 

Галерея

• Интерфейс Axiom в браузере Mozilla Firefox

• Axiom упрощает уравнение теплоты

• Работа с матрицами в Axiom

Документация

Axiom — axiom-developer.org. Эти тома содержат актуальный исходный код системы.

На данный момент доступны следующие документы:

• Общее оглавление
• Volume 0: Axiom Jenks and Sutor — Основной учебник
• Volume 1: Axiom Tutorial — Простое введение
• Volume 2: Axiom Users Guide — Подробные примеры использования доменов (незавершённый)
• Volume 3: Axiom Programers Guide — Руководство в примерах для написания программ (незавершённый)
• Volume 4: Axiom Developers Guide — Короткие наброски на темы, специфичные для разработчиков (незавершённый)
• Volume 5: Axiom Intepreter — Исходый код интерпретатора Axiom (незавершённый)
• Volume 6: Axiom Command — Исходый код системных команд и скриптов (незавершённый)
• Volume 7: Axiom Hyperdoc — Исходный код и разъяснения браузера справки X11 Hyperdoc
  • Volume 7.1 Axiom Hyperdoc Pages — Исходный код страниц Hyperdoc
• Volume 8: Axiom Graphics — Исходый код подсистемы X11 Graphics
• Volume 9: Axiom Compiler — Исходый код компилятора Spad (незавершённый)
• Volume 10: Axiom Algebra Implementation — Наброски особенностей реализации (незавершённый)
  • Volume 10.1: Axiom Algebra Theory — Наброски, содержащие базовую теорию
  • Volume 10.2: Axiom Algebra Categories — Исходный код категорий Axiom
  • Volume 10.3: Axiom Algebra Domains — Исходый код доменов Axiom (незавершённый)
  • Volume 10.4: Axiom Algebra Packages — Исходый код Axiom packages (незавершённый)
• Volume 11: Axiom Browser — Исходные страницы внешнего интерфейса Axiom для браузера Firefox
• Volume 12: Axiom Crystal — Исходный код внешнего интерфейса Axiom Crystal (незавершённый)

Видео

Важной целью проекта Axiom является предоставление документации. В ноябре axiom-developer.org. Первое видео рассказывает о источниках информации о Axiom.^[3]

Примечания