19-10-2023
Гипо́теза Коллатца (гипо́теза 3n+1, гипо́теза 3x+1, пробле́ма Коллатца, пробле́ма 3n+1, пробле́ма 3x+1, сираку́зская пробле́ма) — одна из нерешённых проблем математики, названная по имени немецкого математика Лотара Коллатца (англ.), предложившего её в 1937 году. Для объяснения сути гипотезы рассмотрим следующую последовательность чисел, называемую сираку́зской после́довательностью. Берём любое натуральное число n. Если оно чётное, то делим его на 2, а если нечётное, то умножаем на 3 и прибавляем 1 (получаем 3n + 1). Над полученным числом выполняем те же самые действия, и так далее.
Например, для числа 3 получаем:
3 — нечётное, 3×3 + 1 = 10
10 — чётное, 10÷2 = 5
5 — нечётное, 5×3 + 1 = 16
16 — чётное, 16÷2 = 8
8 — чётное, 8÷2 = 4
4 — чётное, 4÷2 = 2
2 — чётное, 2÷2 = 1
1 — нечётное, 1×3 + 1 = 4
Очевидно, что, начиная с 1, начинают циклически повторяться числа 1, 4, 2.
Для числа 27 получаем:
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1, …
Последовательность пришла к единице только через 111 шагов, достигнув в пи́ке значения 9232.
Гипотеза Коллатца заключается в том, что какое бы начальное число мы ни взяли, рано или поздно мы получим единицу.
Чи́сла-гра́дины — также распространённое название для совокупности рассмотренных последовательностей. Такое название возникло из-за того, что графики последовательностей (см. иллюстрацию) похожи на траектории движения градин в атмосфере.
Содержание |
В августе 2009 года на платформе BOINC был запущен проект добровольных распределённых вычислений «Collatz Conjecture»[1], целью которого является проверка гипотезы Коллатца на больших числах. Вычислительный модуль проекта может использовать вычислительные мощности современных видеокарт.
Collatz Conjecture.
