В математике, F₄ — название одной из пяти (компактных или комплексных) особых простых групп Ли, а также её алгебры Ли . F₄ имеет 4 ранг и размерность 52. Группа F₄ односвязна, а её группа внешних автоморфизмов тривиальна. Простейшее точное линейное представление группы F₄, а также её алгебры Ли, 26-мерно и неприводимо.

Компактная вещественная форма (комплексной) группы F₄ является группой изометрий 16-мерного риманова многообразия, известного как 'октонионная проективная плоскость', OP². Это может быть показано с помощью общего приёма, использующего конструкцию, известную как магический квадрат, разработанную Г. Фрейденталем и Ж. Титсом.

Есть 3 вещественные группы Ли с алгеброй : компактная, разделённая и третья.

Алгебра Ли F₄ может быть получена путём добавления к 36-мерной алгебре Ли so(9) 16 генераторов, преобразующихся как спиноры, аналогично тому, как это делается в конструировании E₈.

Алгебра

Корневые векторы F₄

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

и простые положительные корневые векторы

,

,

,

.

Группа Вейля/Коксетера

Для данной группы это — группа симметрии гипероктаэдра.

Матрица Картана

Решётка симметрии F₄

4-мерная объёмноцентрированная кубическая решётка имеет F₄ как точечную группу симметрии. Это объединение двух гиперкубических решёток, точки каждой из которых лежат в центрах гиперкубов другой, образует кольцо, называемое кольцом кватернионов Гурвица. 24 кватерниона Гурвица с нормой 1 образуют гипероктаэдр.

Источники

• Bull. Amer. Math. Soc. 39 (2002), 145-205. On-line HTML вариант  (англ.)  (Проверено 26 декабря 2009)