Ба́наховой алгеброй над комплексным или действительным полем называется ассоциативная алгебра, являющаяся при этом Банаховым пространством. При этом умножение в ней должно быть согласовано с нормой: . Алгебра называется унитальной, если она обладает единицей (то есть таким элементом , что иногда этот элемент записывают просто как 1, если нет опасности путаницы). Если единица существует, то она единственна. Элементы a и b называются перестановочными, если . Алгебра называется коммутативной, если все ее элементы перестановочны. Элемент алгебры называется обратимым, если . Спектром элемента называется множество таких необратим.

Примеры

• Поля комплекcных чисел или действительных чисел — и относительно стандартных операций сложения и умножения. Это унитальные коммутативные алгебры.
• Комплексные или действительные матрицы относительно матричного умножения и какой-нибудь матричной нормы.
• Алгебра кватернионов является действительно алгеброй с нормой — модулем.
•  — пространство непрерывных функций на компакте относительно поточечного умножения относительно sup-нормы. Более общий пример — , где  — локально компактное пространство.
• Пространство ограниченных операторов относительно операторной нормы и композиции в качестве умножения. Пространство компактных операторов относительно тех же операций.
• относительно умножения — свертки.
• C*-алгебра — алгебра с *-инволюцией, согласованной с нормой:

Свойства

• Обратимые элементы образуют группу . Отображение , сопоставляющее каждому элементу обратный непрерывно на
•  — открытое множество.
• Теорема Гельфанда-Мазура : каждая унитальная комплексная банахова алгебра, в которой все ненулевые элементы обратимы изоморфна
• В унитальной алгебре единица не может быть коммутатором:   для любых x, y ∈ A. Отсюда следует, что также не является коммутатором.
• Все характеры (гомоморфизмы в ) являются сжимающими операторами.
• Если -замкнутый идеал, то факторалгебра с факторнормой является банаховой алгеброй.

Спектры

• Спектр элемента унитальной комплексной банаховой алгебры — непустой компакт. Для любого компакта спектр на совпадает с , то есть других ограничений нет.
• Спектральным радиусом элемента называется Для него верна формула спектрального радиуса
• Если -унитальный (переводящий единицу в единицу ) гомоморфизм, то для любого выполнено . То есть при гомоморфизме спектр либо сохраняется, либо уменьшается.
• Если  — многочлен с комплексными коэффициентами, тогда . Это утверждение также верно для любой голоморфной функции, в частности синуса, логарифма и экспоненты.

Литература

• Хелемский А. Я. Лекции по функциональному анализу. — М.: МЦНМО, 2004. — ISBN 5-94057-065-8