Пусть — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Модуль над кольцом , в котором для заданного билинейного отображения

определено произведение согласно равенству

называется алгеброй над или -алгеброй.

Согласно определению для всех и , , справедливы соотношения

7. , где — единица кольца

Нетрудно убедиться, что относительно операций сложения и умножения алгебра является кольцом.

Для , коммутатор определён равенством

-алгебра называется коммутативной, если

Для , , ассоциатор определён равенством

-алгебра называется ассоциативной, если

Если существует элемент такой, что для всех , то называется единицей алгебры , а сама алгебра называется алгеброй с единицей.

Иногда алгебра определяется и над некоммутативными кольцами, в этом случае вместо условия 6 требуют более слабое:

Любое кольцо можно считать алгеброй над кольцом целых чисел, если понимать произведение (где — целое число) обычно, то есть как сумму копий . Поэтому, кольца можно рассматривать как частный случай алгебр.

Если вместо билинейного отображения выбрать полилинейное отображение

и определить произведение согласно правилу

то полученная алгебраическая структура называется -алгеброй.

Свободная алгебра

Если алгебра над коммутативным кольцом является свободным модулем, то она называется свободной алгеброй и имеет базис над кольцом . Если алгебра имеет конечный базис, то алгебра называется конечномерной.

Если является полем, то, по определению, -алгебра является векторным пространством над , а значит, имеет базис.

Базис конечномерной алгебры обычно обозначают , ..., . Если алгебра имеет единицу , то обычно единицу включают в состав базиса и полагают . Если алгебра имеет конечный базис, то произведение в алгебре легко восстановить на основании таблиц умножения

А именно, если , , то произведение можно представить в виде

Величины называются структурными константами алгебры .

Если алгебра коммутативна, то

Если алгебра ассоциативна, то

Свойства

• Из алгебры многочленов (от достаточно большого числа переменных) над полем можно получить, в качестве гомоморфного образа, любую ассоциативно-коммутативную алгебру над .

Отображение алгебры

Мы можем рассматривать алгебру над коммутативным кольцом как модуль над коммутативным кольцом . Отображение

алгебры над коммутативным кольцом в алгебру над кольцом называется линейным, если

для любых , , . Множество линейных отображений алгебры в алгебру обозначается символом .

Линейное отображение

алгебры в алгебру называется гомоморфизмом, если

для любых , , а также выполнено условие: если алгебры и имеют единицу, то

Множество гомоморфизмов алгебры в алгебру обозначается символом .

Очевидно, что .

Примеры

• Общие
  • алгебры квадратных матриц
  • алгебры многочленов
  • алгебра формальных степенных рядов

• Алгебры над полем вещественных чисел
  • Комплексные числа
  • Двойные числа
  • Дуальные числа
  • Кватернион