Внешняя алгебра или алгебра Грассмана — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом в 1844 г.
Определение
Внешняя алгебра векторного пространства над полем — ассоциативная алгебра над K, операция в которой обозначается знаком , а порождающими элементами являются , где — базис пространства . Определяющие соотношения имеют вид
Внешняя алгебра обычно обозначается , она не зависит от выбора базиса.
Связанные определения
- Операция называется внешним произведением.
- Подпространство (для ) в , порождённое элементами вида , называется -ой внешней степенью пространства .
- Элемент называется внешней формой степени k или внешней k-формой на V.
Свойства
-
- , в частности
- при .
- градуированная коммутативность: , если ,.
- Элементы пространства называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над , с операцией антисимметризированного (альтернированного) тензорного произведения, то есть композиция полной антисимметризации (альтернирования) по всем индексам с тензорным произведением.
- В частности, внешнее произведение двух векторов можно понимать как следующий тензор:
- Замечание: Нет единого стандарта в том, что значит «антисимметризация». Например, многие авторы предпочитают формулу
- Линейно независимые системы из векторов и из порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда -векторы и пропорциональны.
- Алгебра имеет структуру градуированной алгебры:
Ссылки
- Винберг Э. Б. Курс алгебры — М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002, ISBN 5-88688-060-7
- Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
См. также