Алгебраическая система (или алгебраическая структура) в универсальной алгебре — множество (носитель) с заданным на нём набором операций и отношений (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется универсальной алгеброй, а система с пустым множеством операций — моделью.
n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество . По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).
Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.
Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то его называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.
Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.
Список алгебраических систем
- Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений ([1] — С.15).
Группоиды, полугруппы, группы
- Группоид — множество с одной бинарной операцией , обычно называемой умножением.
- Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение имеет единственное решение для любых и .
- Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
- Лупа — квазигруппа с единичным элементом , таким, что .
- Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: .
- Моноид — полугруппа с единичным элементом.
- Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a−1, такой, что .
- Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').
Кольца
- Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
- Почти-кольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)
- Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности: .
- Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
- Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
- Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
- Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.
Алгебры
Решётки
Примечания
- ↑ Курош А. Г. Общая алгебра. — М.: Наука, 1974.
Литература
- П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
- А. И. Мальцев «Алгебраические системы», — М., Наука, 1970 г., 392 стр. с илл.
- «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.