Возвра́тное состоя́ние — это состояние марковской цепи, посещаемое ею бесконечное число раз.

Определение

Пусть дана однородная цепь Маркова с дискретным временем . Пусть

— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него ровно за шагов. Тогда

— вероятность, выйдя из состояния , вернуться в него (за конечное или бесконечное время).

Состояние называется возвра́тным (рекурре́нтным), если . В противном случае состояние называется невозвра́тным (транзие́нтным).

Критерий возвратности

Состояние является возвратным тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих условий:

1. , где .
2. .

Соответственно, состояние невозвратно тогда и только тогда, когда выполнено любое из условий:

1. .
2. .

Время возвращения

Предположим, что почти всюду, и определим случайную величину , равную времени первого возвращения в состояние , то есть

.

Тогда имеет дискретное распределение, задаваемое функцией вероятности

.

Возвратное состояние называется положи́тельным, если

,

и нулевы́м, если

.

Возвратность неразложимого класса

• Если состояния и сообщаются, и  — возвратно, то состояние также возвратно.
• Более того если состояние положительно, то и состояние также положительно.

Таким образом возвратность и положительность — свойство неразложимого класса. Если Марковская цепь неразложима, то говорят о её возвратности и положительности.