14-09-2023
В математике гармонический ряд представляет собой сумму, составленную из бесконечного количества членов, обратных последовательным числам натурального ряда[1]:
Ряд назван гармоническим, так как складывается из «гармоник»: -я гармоника, извлекаемая из скрипичной струны, — это основной тон, производимый струной длиной от длины исходной струны.[2]
Содержание |
Отдельные члены ряда стремятся к нулю, но его сумма расходится. n-ной частичной суммой sn гармонического ряда называется n-ное гармоническое число:
В 1740 году Л. Эйлером было получено асимптотическое выражение для суммы первых n членов ряда[1]:
где — постоянная Эйлера — Маскерони, а — натуральный логарифм.
При значение , следовательно, для больших n:
, (%) | |||
10 | 2,93 | 2,88 | 1,7 |
25 | 3,82 | 3,80 | 0,5 |
Более точная асимптотическая формула для частичной суммы гармонического ряда:
Данный ряд расходится, однако ошибка вычислений по нему никогда не превышает половины первого отброшенного члена.
Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 1043 элементов ряда).
Расходимость гармонического ряда можно продемонстрировать, сравнив его с телескопическим рядом:
частичная сумма которого, очевидно, равна:
Доказательство расходимости можно построить, группируя слагаемые следующим образом:
Последний ряд, очевидно, расходится. Это доказательство принадлежит средневековому учёному Николаю Орему (ок. 1350).
Предположим, что гармонический ряд сходится к сумме :
Тогда, перегруппируя дроби, получим:
Вынесем из второй скобки :
Заменим вторую скобку на :
Перенесём в левую часть:
Подставим обратно вместо сумму ряда:
Это равенство, очевидно, неверно, так как единица больше одной второй, одна треть больше одной четвёртой, и так далее. Таким образом, наше предположение о сходимости ряда ошибочно, и ряд расходится.
Это означает, что S - есть бесконечность и наши операции по добавлению или вычитанию ее из обоих сторон равенства недопустимы.
n-ая частичная сумма гармонического ряда,
называется n-ым гармоническим числом.
Разница между n-м гармоническим числом и натуральным логарифмом n сходится к постоянной Эйлера-Маскерони.
Разница между различными гармоническими числами никогда не равна целому числу и никакое гармоническое число, кроме , не является целым[3].
Обобщенным гармоническим рядом (или рядом Дирихле) называют ряд[1][4]
Обобщенный гармонический ряд расходится при α≤1 и сходится при α>1[4].
Сумма обобщённого гармонического ряда порядка α равна значению дзета-функции Римана:
Для чётных это значение явно выражается через число пи, например, , а уже для α=3 его значение аналитически неизвестно.
В отличие от гармонического ряда, у которого все слагаемые берутся со знаком «+», ряд
сходится по признаку Лейбница. Поэтому говорят, что такой ряд обладает условной сходимостью. Его сумма равна натуральному логарифму 2:
Эта формула — частный случай ряда Меркатора (англ.), ряда Тейлора для натурального логарифма.
Похожий ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса:
Это известно как ряд Лейбница.
Бирон Шмуланд из Университета Альберты рассмотрел[5][6] свойства случайного ряда
где sn независимые, одинаково распределённые случайные величины, которые принимают значения +1 и −1 с одинаковой вероятностью ½. Показано, что этот ряд сходится с вероятностью 1, и сумма ряда есть случайная величина с интересными свойствами. Например, функция плотности вероятности, вычисленная в точках +2 или −2 имеет значение 0,124 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 999 7642 …, отличаясь от на менее чем 10−42. Статья Шмуланда объясняет, почему эта величина близка, но не равна 1/8.
Если рассмотреть гармонический ряд, в котором оставлены только слагаемые, знаменатели которых не содержат цифры 9, то окажется, что оставшаяся сумма сходится к числу <80[7]. Более того, доказано, что если оставить слагаемые, не содержащие любой заранее выбранной последовательности цифр, то полученный ряд будет сходиться. Однако из этого будет ошибочно заключать о сходимости исходного гармонического ряда, т.к. с ростом разрядов в числе n, все меньше слагаемых берется для суммы "истонченного" ряда. Т.е. в конечном счете мы отбрасываем подавляющее большинство членов образующих сумму гармонического ряда, чтобы не превзойти ограничивающую сверху геометрическую прогрессию.
Гармонический ряд.