В математике n-м гармоническим числом называется сумма обратных величин первых n последовательных чисел натурального ряда:

Гармонические числа являются частичными суммами гармонического ряда.

Изучение гармонических чисел началось в античности. Они имеют важное значение в различных областях теории чисел и теории алгоритмов и, в частности, тесно связаны с дзета-функцией Римана.

Альтернативные определения

• Гармонические числа можно определить рекуррентно следующим образом:

  

• Также верно соотношение:

  ,

  где  — дигамма-функция,  — постоянная Эйлера — Маскерони.

Дополнительные представления

Нижеследующие формулы могут быть использованы для вычисления гармонических чисел (в том числе и в точках отличных от точек натурального ряда):

• Интегральные представления:

• Предельные представления:

• Разложение в ряд Тейлора в точке :

  где  — дзета-функция Римана.

• Асимптотическое разложение:

Свойства

Значения от нецелого аргумента

где  — золотое сечение.

Суммы, связанные с гармоническими числами

Теоретико-числовые свойства

• Теорема Вольстенхольма утверждает, что для всякого простого числа выполняется сравнение:

Приложения

В 2002 году Lagarias доказал,^[1] что гипотеза Римана о нулях дзета-функции Римана эквивалентна утверждению, что неравенство

верно при всех целых со строгим неравенством при , где  — сумма делителей числа .

См. также

• Теорема Вольстенхольма

Примечания