Гипотеза Эйлера

Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:

$\begin{matrix} a^3+b^3=c^3 \\ a^4+b^4+c^4=d^4 \\ a^5+b^5+c^5+d^5=e^5 \\ \dots \\ \sum\limits_{k=1}^{n-1} a_k^n = a_n^n \end{matrix}$

не имеют решения в натуральных числах.

Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.

Контрпримеры

В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. L. Selfridge) нашли первый контрпример для n = 5:^[1]

В 1988 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:^[2]

В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:^[2]

Для n = 6 гипотеза Эйлера по-прежнему остается открытой проблемой.

Обобщения

В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. Selfridge) высказали гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .

В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .

Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet^[3] и yoyo@home.

См. также

Примечания

A survey of equal sums of like powers». Math. Comp. 21: 446-459. 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.

↑ All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.

EulerNet

Ссылки

EulerNet

Гипотеза Эйлера

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации