Длинная арифметика — в вычислительной технике операции (сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень, элементарные функции) над числами, разрядность которых превышает длину машинного слова данной вычислительной машины. Эти операции реализуются не аппаратно, а программно, используя базовые аппаратные средства работы с числами меньших порядков. Частный случай — арифметика произвольной точности — относится к арифметике, в которой длина чисел ограничена только объёмом доступной памяти.

Применение

Длинная арифметика применяется в следующих областях:

• составление кода для процессоров (микроконтроллеров) низкой разрядности. Например, микроконтроллеры серии AVR имеют регистры с разрядностью 8 бит и АЦП с разрядностью 10 бит; этого недостаточно для обработки информации с АЦП; без длинной арифметики не обойтись;
• криптография. Большинство систем подписывания и шифрования данных используют целочисленную арифметику по модулю m, где m — очень большое положительное натуральное число, не обязательно простое. Например, при реализации метода шифрования RSA, криптосистемы Рабина или схемы Эль-Гамаля требуется обеспечить точность результатов умножения и возведения в степень порядка 10³⁰⁹;
• математическое (см. список ПО) и финансовое ПО. Результат вычисления на бумаге должен совпадать с результатом работы компьютера с точностью до последнего разряда. В частности, калькулятор Windows (начиная с Windows 95) проводит четыре арифметических действия с намного большей точностью, чем позволяет процессор x86. Для научных и инженерных расчётов длинная арифметика применяется редко, так как ошибки во входных данных обычно намного больше, чем ошибки округления;
• составление кода на соревнованиях по спортивному программированию.

Необходимые аппаратные средства для работы с длинной арифметикой

Строго говоря, для реализации арифметики произвольной точности от процессора требуется лишь косвенная адресация; в арифметике фиксированной точности можно обойтись даже без неё. Тем не менее, определённые функции процессора ускоряют длинную арифметику, одновременно упрощая её программирование.

• Флаг переноса. Операции «сложить/вычесть с переносом», «циклический сдвиг через бит переноса».
• Автоинкрементные и автодекрементные операции доступа к памяти.
• Умножение w · w = (w²), деление (w²) / w = w.

Реализация в языках программирования

Языки программирования имеют встроенные типы данных, размер которых, в основном, не превышает 64 бита (около 10¹⁹). Десятичная длинная арифметика была реализована в советских языках программирования АЛМИР-65 на ЭВМ МИР-1 и АНАЛИТИК на ЭВМ МИР-2.
Для работы с большими числами, в современных языках программирования существует довольно много готовых оптимизированных библиотек для длинной арифметики.

• GNU Multi-Precision Library
• LibTomMath

Большинство функциональных языков позволяют переключаться с обычной арифметики на длинную без необходимости изменения кода арифметических расчётов. Например, Erlang и Scheme всегда представляют точные числа длинными. В Standard ML реализации всех разновидностей целых чисел определяются на основании сигнатуры INTEGER, позволяя выбирать необходимую размерность,— в том числе присутствует модуль IntInf, реализующий целые числа произвольной точности; в реализации PolyML этот модуль используется по умолчанию.

Встроенные библиотеки работы с большими числами есть в Ruby, Python и Java.

Алгоритмы

Алгоритмы умножения

Для описания алгоритмов обычно используется следующее представление целых чисел. Выбирается основание . Тогда целое число длины можно представить в виде:
,
где ^[1]

Базовый

Представляет собой алгоритм по школьному методу «в столбик». Занимает время , где  — размеры перемножаемых чисел.
Алгоритм может быть представлен в виде: ^{[1] [2]}

Algorithm 1 BasecaseMultiply
Input:
Output:

for from to do

Умножение Карацубы

Метод умножения Карацубы относится к парадигме «разделяй и властвуй». Сложность вычисления алгоритма:

.

Данный алгоритм представляет собой простую реализацию^[3] идеи разделения входных данных, которая стала базисной для нижеперечисленных алгоритмов. Идея заключается в разделении одной операции умножения над -значными числами на три операции умножения над числами длины плюс ^[1].
Для перемножения двух чисел, превышающих длину машинного слова, алгоритм Карацубы вызывается рекурсивно до тех пор, пока эти числа не станут достаточно маленькими, чтобы их можно было перемножить непосредственно. Пример такого алгоритма:

Algorithm 2 KaratsubaMultiply
Input:
Output:



KaratsubaMultiply
KaratsubaMultiply
KaratsubaMultiply

Посчитаем :


Нужно вычислить три промежуточных коэффициента:



Результат:

Алгоритм Тоома

Этот алгоритм является обобщением алгоритма Карацубы и работает быстрее. Для двух данных целых чисел и алгоритм Toom-a делит их на меньших частей, длина каждой из которых равна длине машинного слова, и производит операции над этими частями. Сложность вычисления алгоритма: .

Алгоритм Тоома-3

Идея впервые была предложена А. Л. Тоомом в 1963 году^[4], и заключается в разделении входных данных (множителей) на 3 равные части (для простоты все части считаем равными). Toom-3 сокращает число элементарных операций умножения с 9 до 5. Сложность алгоритма .
Рассмотрим данный алгоритм на следующем примере. Пусть дано два числа и . Пусть определены операции над числами, размер которых равен 1/3 от размеров исходных чисел (см. рисунок). Предположим также, что числа занимают равную память и делятся ровно на 3 части, в противном случае дополним оба числа нулями до необходимых размеров.

Затем происходит отображение (параметризация) этих частей на полиномы 2 степени.


Введем , по определению такую, что значение многочленов соответственно равно входным числам и . Для битового представления чисел это число равно возведению 2 в степень, равную длине каждой из частей в битах. Также введем полином:
(1)

После того как будут определены элементы  — коэффициенты многочлена, они будут использованы в целях получения , так как . Размер коэффициентов в 2 раза больше (по памяти), чем разбиение или . Конечное число, равное произведению можно найти, складывая со сдвигом, как показано на рисунке ниже.

Коэффициенты могут быть вычислены следующим образом: и так далее, но это потребует все 9 перемножений: для i, j=0,1,2, и будет эквивалентно простому перемножению.
Вместо этого был использован иной подход. вычисляются в (1) в 5 точках при разных .
В таблице, представленной ниже, приведены значения полиномов в равенстве (1)

Параметр условный. Он означает банальное равенство коэффициентов при , тем самым мы получим значение сразу. Данная система линейна относительно 5 неизвестных. При её разрешении мы получаем неизвестные . Далее получаем значение многочлена, как было описано выше.

Алгоритм Тоома-4

Сложность алгоритма . Представляет собой 7 элементарных операций умножения. Toom-4 разделяет входные данные на 4 части.
По такому же принципу как и в Toom-3 строим два полинома:

и вычисляются в 7 разных точках, также вычисляется значение в этих точках.

Количество операций сложения и умножения для Toom-4 намного больше, чем для Toom-3. Но некоторые выражения встречаются по нескольку раз. Например, вычисляется для и для ^[5].

Алгоритм Тоома для произвольного разбиения

Алгоритм Тоома для разделения входных чисел на n операндов эквивалентен описанному выше. В общем случае разделение двух одинаково длинных операндов на частей приводит к вычислению значений в точках. В качестве точек для решения системы, обычно берут .

Перемножение методом Фурье

Данный алгоритм перемножения используется для больших и очень больших чисел.^[6]
Этот алгоритм перемножает два числа за время , где  — количество значащих цифр в перемножаемых числах (предполагая их равными). Создание приписывается Кули (Coolet) и Таки (Tukey) — 1965 г. Также есть предположения, что данный алгоритм был известен и раньше, но не имел большой важности до того как изобрели первые компьютеры. Вероятными кандидатами изобретения данного алгоритма также называют Рунг (Runge) и Кёниг (Konig) — 1924 г., а также Гаусса — 1805 г.
Пусть имеется число, представим его в виде многочлена, как мы делали ранее. Назовем этот многочлен . Также введем дискретное Фурье преобразование многочлена как вектор, с координатами . Где определены как  — комплексный корень -ой степени из 1, не равный 1. Дело в том, что комплексный корень из 1 определен с точностью до фазового множителя, количество этих корней — . Фурье преобразование применено для того, чтобы свертку коэффициентов многочленов и :  — заменить на произведение их Фурье образов.

,
где под умножением подразумевается скалярное произведение векторов.
Предположим, что есть степень двойки.
Нахождение производится рекурсивным методом (разделяй и властвуй). Идея заключается в разбиении исходного многочлена на два многочлена,


Тогда .
Заметим, что среди всех чисел , только различных. Поэтому, ДПФ и будут -элементными. А так как ДПФ и состоит из элементов, то комплексным корнем из 1 там будет корень степени .
Значит, , где и
.
Мы использовали свойства комплексных чисел: различных корней степени всего . .

Получаем рекурсивный алгоритм:
ДПФ одного элемента равно этому элементу
для нахождения ДПФ A разбиваем коэффициенты A на чётные и нечётные, получаем два многочлена и , находим ДПФ для них, находим ДПФ :


для .
Существует доказательство следующего утверждения: Обратное ДПФ находится аналогично прямому ДПФ, за исключением того, что в качестве точек берутся точки, симметричные относительно вещественной оси, вместо тех, что использовались в прямом ДПФ преобразовании. Также необходимо все коэффициенты многочлена поделить на n

Алгоритмы извлечения корня

Квадратный корень

Одним из алгоритмов вычисления квадратного корня является «Karatsuba Square Root»^[7]

Алгоритмы преобразования системы счисления

Алгоритмы деления

Целочисленное деление

Деление чисел с плавающей точкой

Другие алгоритмы

Примечания