За́мкнутые мно́жества в общей топологии, функциональном анализе и математическом анализе — это дополнения к открытым множествам. Замкнутое множество содержит все свои точки прикосновения.

Определение

Пусть дано топологическое пространство . Множество называется замкнутым относительно топологии , если существует открытое множество такое что .

Операция замыкания

Замыканием множества топологического пространства называют минимальное по включению замкнутое множество содержащее . Замыкание множества обычно обозначается , или если надо подчеркнуть что рассматривается как множество в пространстве .

Критерий замкнутости

Из определения операции замыкания следует практически очевидный критерий: .

Примеры

• Пустое множество всегда замкнуто (и, в то же время, открыто).
• Отрезок замкнут в стандартной топологии на вещественной прямой, так как его дополнение открыто.
• Множество замкнуто в пространстве рациональных чисел , но не замкнуто в пространстве всех вещественных чисел .

См. также

• Открытое множество