Откры́тое мно́жество — это множество, каждый элемент которого входит в него вместе с некоторой окрестностью. Открытое множество является фундаментальным понятием общей топологии.

Термин «открытое множество» применяется к подмножествам топологических пространств и никак не характеризует «само» множество (ни в смысле теории множеств, ни даже в смысле индуцированной на нём топологической структуры). ^{[1] [2]}

Евклидово пространство

Пусть есть некоторое подмножество евклидова пространства. Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки Иными словами, множество открыто, если любая его точка является внутренней.

Например, промежуток как подмножество действительной прямой является открытым множеством.

Метрическое пространство

Пусть — некоторое метрическое пространство, и . Тогда называется открытым, если такое что , где — ε-окрестность точки относительно метрики .

Топологическое пространство

Обобщением приведённых выше определений является понятие открытого множества из общей топологии.

Топологическое пространство по определению содержит «перечень» своих открытых подмножеств — «топологию», определённую на . Подмножество , такое, что оно является элементом топологии (то есть ), называется открытым множеством относительно топологии .

См. также

• Замкнутое множество
• Граница подмножества

Сноски