Заряд — вещественнозначная конечно-аддитивная функция множества, определённая на некоторой -алгебре, (например, борелевских подмножеств).

В отличие от обычной меры, под которой обычно понимают положительную -аддитивную функцию множества, заряд может принимать и отрицательные значения и не обязательно быть счётно-аддитивным.

При этом термин «заряд» и «конечно-аддитивная мера» — это синонимы.

Множество всех зарядов над произвольным множеством c сигма-алгеброй принято обозначать .

Связанные определения

• Положительный заряд называется чисто конечно аддитивным, если для любой положительной счётно-аддитивной меры из вытекает, что .
  • Произвольный заряд чисто конечно аддитивен, если таковы заряды и .

Свойства

• Множество всех зарядов образует нормированную решётку и даже, более того, -пространство.
• Для любого заряда имеется положительная часть и отрицательная часть . Имеет место разложение Хана — Жордана , в силу которого свойства зарядов могут быть выражены в терминах теории меры.
• Пусть .
  Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где абсолютно непрерывна относительно и дизъюнктна . Такое представление меры принято назвать разложением по Лебегу.
• Любой заряд единственным образом представим в виде суммы , где  — произвольная счётно-аддитивная мера, а  — произвольная чисто конечно-аддитивный заряд. Такое разложение иногда называют разложением Иосиды — Хьюита.
• Пространство является топологически сопряжённым к пространству измеримых и ограниченных функций, заданных над данным измеримым пространством.

История

Термин «заряд» был впервые введён А. Д. Александровым. Изучение заряда послужило толчком для развития конечно-аддитивной теории меры (40-е года XX века).

См. также

• Теорема Хана о разложении (англ.)

Литература

• Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. — М.: ИЛ, 1962
• Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциалов. — М., 1966
• Халмош П. Теория меры. / Пер. с англ. — М., 1953.
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces I// Матем. сборник 1940. V.8(50), N 2. P.307-348
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces II// Матем. сборник 1941. V.9(51), N 3. P.563-628
• Alexandroff A. D. Additive set-functions in abstract spaces III// Матем. сборник 1943. V.13(55), N 2. P.169-293
• Yosida K., Hewitt E. Finitely additive mesures// Trans. Amer. Math. Soc. 1952. v. 72, N 1. P. 46—66