12-07-2023
Борелевская сигма-алгебра — это минимальная сигма-алгебра, содержащая все открытые подмножества топологического пространства (также она содержит и все замкнутые). Эти подмножества также называются Борелевыми.
Если не оговорено противное, в качестве топологического пространства выступает множество вещественных чисел.
Борелевская сигма-алгебра обычно выступает в роли сигма-алгебры случайных событий вероятностного пространства. В борелевской сигма-алгебре на прямой или на отрезке содержатся многие «простые» множества: все интервалы, полуинтервалы, отрезки и их счётные объединения.
Названа в честь Эмиля Бореля.
Любое подмножество множества нулевой меры автоматически измеримо по Лебегу, но такое может не быть борелевским.
Рассмотрим функцию на отрезке , где — канторова лестница. Эта функция монотонна и непрерывна, как следствие — измерима. Мера образа канторова множества равна , а значит, мера образа его дополнения также равна . Поскольку мера образа канторова множества ненулевая, в нём можно найти неизмеримое множество . Тогда его прообраз будет измеримым (так как он лежит в канторовом множестве, мера которого нулевая), но не будет борелевским (поскольку иначе было бы измеримо как образ борелевского множества при измеримом отображении).
Борелевская сигма-алгебра.