Нётеровым оператором называется оператор, у которого и ядро, и коядро конечномерны.

Определение

Пусть X, Y — банаховы пространства. Оператор называют нётеровым, если

Нётеровость оператора обычно обозначают как . В конченомерных X,Y, например, любой линейный оператор является нётеровым.

Следует также отметить, что в силу своего определения, нётеров оператор всегда нормально разрешим.

Индекс нётерова оператора

Для таких операторов имеет смысл понятие индекса оператора:

Более того, для каждого конкретно заданного существует нётеров оператор с индексом n.

Фредгольмовы операторы

Оператор T называется фредгольмовым, если

Например, любой непрерывно обратимый линейный оператор, обладает ядром и коядром нулевых размерностей, а посему является фредгольмовым.

Данный класс нётеровых операторов обладает особыми свойствами, и поэтому часто рассматривается отдельно.

Преобразования нётеровых операторов

• Сопряженный к нётерову оператору тоже нётеров: . Более того, существует взаимооднозначная связь между индексами этих операторов:
• Композиция нётеровых операторов — нётеров оператор, а индекс его есть (теорема Аткинсона)
• Компактное возмущение сохраняет нётеровость и индекс оператора:
• Нётеровость и индекс также сохраняются при достаточно малых ограниченных возмущениях, то есть . Иначе говоря, множество является открытым в множестве ограниченных операторов.

Теорема Фредгольма

 — фредгольмов (здесь  — тождественный оператор на X).

Критерии нётеровости

• Критерий Нётера: T — нётеров  — правый и левый регуляризаторы для T. В эквивалентной формулировке это звучит как: T нётеров если, и только если T почти обратим.
• Критерий Никольского: T — нётеров тогда, и только тогда, когда T разложим в сумму S+K, где S — обратим, а K — компактен. Или, что то же самое: , где  — множество обратимых линейных операторов.

Литература

• Кутателадзе С. С. Основы функционального анализа. — 3-е изд. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2000. — 336 с. — ISBN 5-86134-074-9.