Интегра́л Ри́мана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Неформальное геометрическое описание

Риман формализовал понятие интеграла, разработанное Ньютоном и Лейбницем, как площади подграфика (фигуры, заключенной между графиком функции и осью абсцисс). Для этого он рассмотрел фигуры, состоящие из нескольких вертикальных прямоугольников и получающиеся при разбиении отрезка (см. рисунок). Если при «размельчении» разбиения существует предел, к которому сходятся площади таких фигур (интегральные суммы), этот предел называется интегралом Римана функции на отрезке.

Определения

Через интегральные суммы

Пусть на отрезке определена вещественнозначная функция .

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок на n отрезков . Длина наибольшего из отрезков δR =, называется шагом разбиения, где -длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке . Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора , то это число называется интегралом функции на отрезке , т.е. .

В этом случае, сама функция называется интегрируемой (по Риману) на ; в противном случае является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке .

Через суммы Дарбу

Свойства

1. Невырожденность:
2. Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку также неотрицателен.
3. Линейность: Если функции и интегрируемы, и , то функция тоже интегрируема, и .
4. Непрерывность: Если интегрируемые функции равномерно сходятся на отрезке к функции , то интегрируема, и . (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1-3 и интегрируемости предельной функции.)
5. Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть . Функция интегрируема на отрезке , тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков и , при этом .
6. Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1-5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке , если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).
7. Если функция является первообразной непрерывной функции , то интеграл функции на отрезке может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен . (Это - общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1-5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид: , где C - произвольная константа.

История

Такое определение интеграла дано Коши^[1], но применялось только для непрерывных функций.

Риман в 1854 году^[2] дал это же определение без предположения непрерывности.

См. также

• Интеграл Лебега
• Интеграл Даниэля
• Кратный интеграл Римана
• Интеграл Стилтьеса
• Несобственный интеграл
• Список интегралов

Литература

• В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл. Х. Сендов Математический анализ. Начальный курс. — 2-е, переработанное. — Издательство Московского Университета, 1985. — Т. 1. — 660 с.

Ссылки

1. ↑ Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
2. ↑ Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

• Таблицы неопределенных и определенных интегралов — EqWorld: Мир математических уравнений.
• Строгое определение интеграла Римана