Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значениями функции в этих точках. Многочлен определяется единственным образом, но в зависимости от задачи его удобно записывать различными по виду формулами.

Интерполяционная формула Лагранжа

Функция может быть интерполирована на отрезке интерполяционным многочленом , записанным в форме Лагранжа:

при этом ошибка интерполирования функции многочленом :

В пространстве вещественных непрерывных функций соответствующие нормы принимают вид:

Интерполяционная формула Ньютона

Если точки расположены на равных расстояниях , многочлен можно записать так:

(здесь , а  — разности k-го порядка: ). Это так называемая формула Ньютона для интерполирования вперёд; название формулы указывает на то, что она содержит заданные значения , соответствующие узлам интерполяции, находящимся только вправо от . Эта формула удобна при интерполировании функций для значений , близких к . При интерполировании функций для значений , близких к , формулу Ньютона целесообразно преобразовать, изменив начало отсчёта (см. ниже формулы Стирлинга и Бесселя).

Формулу Ньютона можно записать и для неравноотстоящих узлов, прибегая для этой цели к разделённым разностям. В отличие от формулы Лагранжа, где каждый член зависит от всех узлов интерполяции, любой -й член формулы Ньютона зависит от первых (от начала отсчёта) узлов и добавление новых узлов вызывает лишь добавление новых членов формулы (в этом преимущество формулы Ньютона).

Короткая форма интерполяционной формулы Ньютона для случая равноудаленных узлов:

где  — обобщенные на область действительных чисел биномиальные коэффициенты.

Интерполяционная формула Стирлинга

(о значении символа и связи центральных разностей с разностями см. Конечных разностей исчисление) применяется при интерполировании функций для значений , близких к одному из средних узлов ; в этом случае естественно взять нечётное число узлов , считая центральным узлом .

Интерполяционная формула Бесселя

применяется при интерполировании функций для значений , близких середине между двумя узлами; здесь естественно брать чётное число узлов , и располагать их симметрично относительно

См. также

• Интерполяция

Ссылки

• Большая советская энциклопедия

Литература

• Гончаров В. Л., Теория интерполирования и приближения функций, 2 изд., М., 1954;