Квадратный корень из 5

Система счисления	Оценка числа √5
Иррациональные числа γ - ζ(3) — √2 — √3 — √5 — φ — α — e — π — δ

Двоичная	10.0011110001101111…
Десятичная	2.23606797749978969…
Шестнадцатеричная	2.3C6EF372FE94F82C…
Непрерывная дробь

Квадратный корень из числа 5 — положительное действительное число, при умножении само на себя даёт число 5. Это иррациональное и алгебраическое число.^[1]

Его приблизительное значение с 56 цифрами после запятой является:

Округлённое значение 2.236 является правильным с точностью до 0,01 %. Компьютерная вычисленная точность составляет не менее 1 000 000 знаков.^[2]

Может быть выражено в виде непрерывной дроби [2; 2, 4, 4, 4, 4, 4, …], последовательно это дроби:

Вавилонский метод

Вычисление корня из 5 начиная с r₀ = 2, где r_n+1 = (r_n + 5/r_n) / 2:

Золотое сечение

√5/2 — диагональ половины квадрата, представляет собой геометрическое представление о золотом сечении.

Золотое сечение φ — среднее арифметическое 1 и корня из 5.^[3]

() алгебраически можно выразить так:

Числа Фибоначчи могут быть выражены через корень из 5 так:

Отношение √5 к φ и наоборот дают интересные зависимости непрерывных дробей с числами Фиббоначи и числами Люка:^[4]

Алгебра

Кольцо содержит числа вида , где a и b целые числа и мнимое число . Это кольцо является примером области целостности, не являющейся факториальным кольцом.

Число 6 представляется в данном кольце двумя способами:

Поле — абелево расширение рациональных чисел.

Теорема Кронекера — Вебера утверждает, что корень из 5 можно выразить линейной комбинацией корней из единицы:

Тождества Рамануджана

Корень из 5 появляется во множестве тождеств Рамануджана с непрерывными дробями.^[5]^[6]

Например, случай непрерывных дробей Роджерса-Рамануджана:

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi}}{1 + \ddots}}}} = \left( \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{2}} - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \right)e^{2\pi/5} = e^{2\pi/5}\left( \sqrt{\varphi\sqrt{5}} - \varphi \right).$

$\cfrac{1}{1 + \cfrac{e^{-2\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-4\pi\sqrt{5}}}{1 + \cfrac{e^{-6\pi\sqrt{5}}}{1 + \ddots}}}} = \left( {\sqrt{5} \over 1 + \left[5^{3/4}(\varphi - 1)^{5/2} - 1\right]^{1/5}} - \varphi \right)e^{2\pi/\sqrt{5}}.$

$4\int_0^\infty\frac{xe^{-x\sqrt{5}}}{\cosh x}\,dx = \cfrac{1}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{1^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{2^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \cfrac{3^2}{1 + \ddots}}}}}}}.$

См. также

Примечания

↑ Dauben, Joseph W. (June 1983) Scientific American Georg Cantor and the origins of transfinite set theory. Volume 248; Page 122.
The first 1 million digits of the square root of 5

↑ Browne, Malcolm W. (July 30, 1985) New York Times Puzzling Crystals Plunge Scientists into Uncertainty. Section: C; Page 1. (Note — this is a widely cited article).

↑ Richard K. Guy: «The Strong Law of Small Numbers». American Mathematical Monthly, vol. 95, 1988, pp. 675—712

On the Rogers-Ramanujan continued fraction", Indian Academy of Sciences. Proceedings. Mathematical Sciences Т. 93 (2): 67-77, 813071, 0253-4142, DOI 10.1007/BF02840651

Ramanujan Continued Fractions, <http://mathworld.wolfram.com/RamanujanContinuedFractions.html> at MathWorld

Ссылки

Proof that square root of 3 is irrational (англ.)

Theodorus' Constant at MathWorld

Light-industry-up.ru

Экосистема промышленности

Публикации