Квадрат или квадратное число — целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).

Примеры

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Свойства

• Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию.^[1] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.
• Каждое число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).
• 4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.
• Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.
• Последняя цифра квадрата в десятичной записи равна 0, 1, 4, 5, 6 или 9 (квадратичные вычеты по модулю 10).
• Две последние цифры квадрата в десятичной записи равны 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 или 96 (квадратичные вычеты по модулю 100). Зависимость предпоследней цифры квадрата от последней можно представить в виде следующей таблицы:

последняя цифра	предпоследняя цифра
0	0
5	2
1, 4, 9	чётная
6	нечётная

Геометрическое представление

Обобщения

Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.

См. также

• Квадрат (значения)
• Треугольное число
• Многоугольное число
• Автоморфное число
• Квадратное пирамидальное число

Примечания