25-07-2023
В математическом анализе кратным или многократным интегралом называют множество интегралов, взятых от переменных. Например:
Замечание: кратный интеграл − это определенный интеграл, при его вычислении всегда получается число.
Содержание |
Пусть — измеримое[1] множество n-мерного вещественного пространства, — функция на .
Разбиение множества — это набор попарно непересекающихся подмножеств , такое что .
Мелкость разбиения — это наибольший диаметр множеств .
Разбиение называется конечным, если является конечным множеством, и измеримым, если все его элементы — измеримые (в данном случае — по Жордану) множества.
Кратным (n-кратным) интегралом функции на множестве называется число (если оно существует), такое что, какой бы малой -окрестностью числа мы ни задались, всегда найдется такое разбиение множества и набор промежуточных точек, что сумма произведений значения функции в промежуточной точке разбиения на меру разбиения будет попадать в эту окрестность. Формально:
Здесь — мера множества .
Это определение можно сформулировать в другой форме с использованием интегральных сумм. А именно, для данного разбиения и множества точек рассмотрим интегральную сумму
Кратным интегралом функции называют предел
если он существует. Предел берётся по множеству всех последовательностей разбиений, с мелкостью стремящейся к 0. Разумеется, это определение отличается от предыдущего, по сути, лишь используемым языком.
Интеграл обозначается следующим образом:
В современных математических и физических статьях многократное использование знака интеграла не применяется.
Такой кратный интеграл называется интегралом в собственном смысле.
В случае кратный интеграл совпадает с интегралом Римана.
Пусть существуют верхний и нижний интегралы Дарбу функции на . Тогда, если верхний и нижний интегралы Дарбу равны, то данная функция интегрируема на , причем:
Пусть - измеримое по Жордану множество. Функция интегрируема на , если:
Пусть — измеримое множество, — также измеримое множество, определена и интегрируема на . Тогда
называемый повторным интегралом от функции по множеству ;
Любой d-мерный интеграл можно свести к d одномерным.
Пусть задано биективное отображение , переводящее область в :
,
где — «старые» координаты, а — «новые» координаты. Пусть далее функции, задающие отображение, имеют в области непрерывные частные производные первого порядка, а также ограниченный и отличный от нуля якобиан . Тогда при условии существования интеграла справедлива формула замены переменных:
Двойным интегралом называют кратный интеграл с .
. Здесь — элемент площади в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах: , где — элемент площади в прямоугольных координатах.
Пусть функция принимает в области только положительные значения. Тогда двойной интеграл численно равен объему вертикального цилиндрического тела, построенного на основании и ограниченного сверху соответствующим куском поверхности .
В некоторых случаях двойной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в полярных координатах, так как при этом может произойти существенное упрощение вида области интегрирования и всего процесса интегрирования в целом.
Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
.
Здесь является элементом площади в полярных координатах.
Посчитаем площадь области .
Переход в полярную систему координат не сделает область проще:
Множитель перед синусом «мешает». В этом случае переход можно немного скорректировать:
Это преобразование переведет исходную область в следующую:
Якобиан отображения:
Модуль Якобиана также равен .
Отсюда
Результат верный, так как область ограничена эллипсом, заданным каноническим уравнением. Площадь можно посчитать по формуле . Путем подстановки убеждаемся в верности вычисления интеграла.
Наименование величины | Общее выражение | Прямоугольные координаты | Полярные координаты |
---|---|---|---|
Площадь плоской фигуры | |||
Масса тонкой плоской пластинки
плотностью |
|||
Площадь куска поверхности | |||
Объем цилиндрического тела,
стоящего на плоскости |
|||
Момент инерции плоской фигуры
относительно оси |
|||
Момент инерции плоской фигуры
относительно оси |
|||
Координаты центра тяжести
однородной пластинки |
|||
Примечания |
1) Область — проекция на плоскость ; в каждую точку области проектируется только одна точка поверхности; — угол между касательной плоскостью и плоскостью . 2) Совмещенной с плоскостью . 3) Или, что то же, относительно центра О. |
Тройным интегралом называют кратный интеграл с .
Здесь — элемент объема в рассматриваемых координатах.
В прямоугольных координатах , где является элементом объема в прямоугольных координатах.
Аналогично в некоторых случаях тройной интеграл проще считать не в прямоугольных, а в цилиндрических координатах. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
Здесь является элементом объема в цилиндрических координатах.
Кроме цилиндрических можно также переходить и в сферические координаты. Применим теорему о замене переменных. Соответствующее переходу преобразование имеет вид:
Модуль якобиана отображения равен . Таким образом получаем, что
Здесь является элементом объема в сферических координатах.
Наименование величины | Общее выражение | Прямоугольные координаты | Цилиндрические координаты | Сферические координаты |
---|---|---|---|---|
Объем тела | ||||
Момент инерции геометрического
тела относительно оси |
||||
Масса физического тела с плотностью | ||||
Координаты центра тяжести
однородного тела |
— | — |
Кратный интеграл.