Теоре́ма Тоне́лли — Фуби́ни в математическом анализе, теории вероятностей и смежных дисциплинах сводит вычисление двойного интеграла к повторным.

Формулировка

Пусть даны два пространства с -конечными мерами . Обозначим через их произведение. Пусть функция интегрируема относительно меры . Тогда

• функция определена и интегрируема относительно ;
• функция определена и интегрируема относительно ;
• имеют место равенства

и

Частные случаи

Теория вероятностей

Пусть  — вероятностные пространства, и  — случайная величина на . Тогда

где индекс обозначает вероятностную меру, относительно которой берётся математическое ожидание.

Математический анализ

Пусть функция двух переменных, интегрируемая по Риману на прямоугольнике , то есть . Тогда

где интеграл в левой части двумерный, а остальные повторные одномерные.

Доказательство

Любое разбиение множества получено некоторыми разбиениями отрезка и отрезка , при этом объём любого прямоугольника определяется , где ― некоторые частичные отрезки разбиений. Тогда рассмотрим следующие оценки интеграла и нижних и верхних интегральных сумм функции и :



Тогда при интегрируемости по , то есть равенстве из вышеуказанных оценок интеграл также существует и имеет такое же значение, как и

См. также

• Произведение мер
• Малая теорема Фубини
• Кошмар Фубини
• Формула коплощади

Литература

• Зорич В.А. Математический анализ. — М.: Наука Главная редакция физико-математической литературы, 1984. — С. 131-138.