Кривая Ферма — алгебраическая кривая на комплексной проективной плоскости (англ.)русск., определяемая в однородных координатах (X:Y:Z) уравнением Ферма

Применительно к евклидовой плоскости уравнение имеет вид

Целочисленное решение уравнения Ферма соответствует ненулевому рациональному решению евклидова уравнения и наоборот. Согласно теореме Ферма при n ≥ 3 не существует нетривиальных целочисленных решений уравнения Ферма, поэтому кривая ферма не имеет ненулевых рациональных точек.

Кривая Ферма несингулярна (англ.)русск. и имеет род (англ.)русск.

Таким образом, кривая Ферма имеет род 0 для n = 2 (и является коническим сечением) и род 1 для n = 3 (и является эллиптической кривой). Якобиево многообразие (англ.)русск. кривой Ферма глубоко изучено. Оно изоморфно произведению простых абелевых многообразий с комплексным умножением (англ.)русск..

Существует обобщение кривой Ферма на большее число измерений; в этом случае уравнения, аналогичные уравнению кривой Ферма, определяют проективное многообразие, называемое многообразием Ферма.

Ссылки

• Gross, Benedict H. & Rohrlich, David E. (1978), "«Some Results on the Mordell-Weil Group of the Jacobian of the Fermat Curve»", Inventiones Mathematicae Т. 44 (3): 201–224, 10.1007/BF01403161, <http://www.kryakin.com/files/Invent_mat_%282_8%29/44/44_01.pdf> .