05-10-2023
Кони́ческое сече́ние или коника есть пересечение плоскости с круговым конусом. Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола, кроме того существуют вырожденные сечения: точка, прямая и пара прямых. Окружность можно рассматривать как частный случай эллипса.
Конические сечения могут быть получены как пересечение плоскости с двусторонним конусом
Здесь
Если плоскость проходит через начало координат, то получается вырожденное сечение. В невырожденном случае,
Уравнение кругового конуса квадратично, стало быть все конические сечения являются квадриками, также все квадрики плоскости являются коническими сечениями (хотя две параллельные прямые образуют вырожденную квадрику которая не может быть получена как сечение конуса, но всё же обычно считается «вырожденным коническим сечением»).
Содержание |
Все невырожденные конические сечения, кроме окружности, можно описать следующим способом:
Выберем на плоскости точку и прямую и зададим вещественное число . Тогда геометрическое место точек, для которых расстояние до точки и до прямой отличается в раз, является коническим сечением. Точка называется фокусом конического сечения, прямая — директрисой, число — эксцентриситетом.
В зависимости от эксцентриситета, получится:
Для окружности полагают (хотя формально при , ГМТ получается только точка ).
В декартовых координатах, конические сечения описываются общим квадратным многочленом:
Иначе говоря, конические сечения являются кривыми второго порядка. Знак дискриминанта
определяет тип конического сечения.
В полярных координатах , с центром в одном из фокусов нулевым направлением вдоль главной оси, коническое сечение представляется уравнением
где е обозначает эксцентриситет и l постоянная.
Конические сечения были известны ещё математикам Древней Греции. Наиболее полным сочинением, посвящённым этим кривым, были «Конические сечения» Аполлония Пергского (около 200 г. до н. э.).
В рамках классической механики траектория свободного движения сферических объектов в безвоздушном пространстве подчиняется одному из приложений закона обратных квадратов — закону всемирного тяготения, и вследствие этого является одной из конических кривых — параболой, гиперболой, эллипсом или прямой. Орбиты планет — эллипсы, траектории комет — гиперболы (см. также Небесная механика), траектория полёта пушечного ядра, за вычетом влияния воздуха — парабола (см. также Баллистика).
Конические сечения | |
---|---|
Главные типы | Эллипс • Гипербола • Парабола |
Вырожденные | Точка • Прямая • Пара прямых |
Частный случай эллипса | Окружность |
Геометрическое построение | Коническое сечение • Шары Данделена |
См. также | Коническая константа |
Математика • Геометрия |
Коническое сечение.