Фу́нкция распределе́ния в теории вероятностей — функция, характеризующая распределение случайной величины или случайного вектора. При соблюдении известных условий (см. ниже) полностью определяет случайную величину.

Определение

Пусть дано вероятностное пространство , и на нём определена случайная величина с распределением . Тогда функцией распределения случайной величины называется функция , задаваемая формулой:

.

Т.е. функцией распределения (вероятностей) случайной величины X называют функцию F(x), значение которой в точке x равно вероятности события , т.е. события, состоящего только из тех элементарных исходов, для которых .

Свойства

• непрерывна справа:^[1]

• не убывает на всей числовой прямой.
• .
• .

• Распределение случайной величины однозначно определяет функцию распределения.
  • Верно и обратное: если функция удовлетворяет четырём перечисленным выше свойствам, то существует вероятностное пространство и определённая на нём случайная величина, такая что является её функцией распределения.

• По определению непрерывности справа, функция имеет правый предел в любой точке , и он совпадает со значением функции в этой точке.
  • В силу неубывания, функция также имеет и левый предел в любой точке , который может не совпадать со значением функции. Таким образом, функция либо непрерывна в точке, либо имеет в ней разрыв первого рода.

Тождества

Из свойств вероятности следует, что , таких что :

• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• ;
• .

Дискретные распределения

Если случайная величина дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией вероятности

,

то функция распределения этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как:

.

Эта функция непрерывна во всех точках , таких что , и имеет разрыв первого рода в точках .

Непрерывные распределения

Распределение называется непрерывным, если такова его функция распределения . В этом случае:

,

и

,

а следовательно формулы имеют вид:

,

где означает любой интервал, открытый или закрытый, конечный или бесконечный.

Абсолютно непрерывные распределения

Распределение называется абсолютно непрерывным, если существует неотрицательная почти всюду (относительно меры Лебега) функция , такая что:

.

Функция называется плотностью распределения. Известно, что функция абсолютно непрерывного распределения непрерывна, и, более того, если , то , и

.

Вариации и обобщения

Иногда в российской литературе берётся такое определение функции распределения:

.

Определённая так функция распределения будет непрерывна слева, а не справа.

Многомерные функции распределения

Пусть фиксированное вероятностное пространство, и  — случайный вектор. Тогда распределение , называемое распределением случайного вектора или совместным распределением случайных величин , является вероятностной мерой на . Функция этого распределения задаётся по определению следующим образом:

,

где в данном случае обозначает декартово произведение множеств.

Свойства многомерных функций распределения аналогичны одномерному случаю. Также сохраняется взаимно-однозначное соответствие между распределениями на и многомерными функциями распределения. Однако, формулы для вычисления вероятностей существенно усложняются, и потому функции распределения редко используются для .

См. также

• Плотность вероятности

Примечания