Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве . В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.

Плотность вероятности

Пусть является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство , где обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть обозначает меру Лебега на .

Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность ноль:

Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция такая, что

,

где использовано общепринятое сокращение , и интеграл понимается в смысле Лебега.

Определение 2. В более общем виде, пусть — произвольное измеримое пространство, а и — две меры на этом пространстве. Если найдется неотрицательная , позволяющая выразить меру через меру в виде

то такую функцию называют плотностью меры по мере , или производной Радона-Никодима меры относительно меры , и обозначают

.

Свойства плотности вероятности

• Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и почти всюду относительно меры Лебега, то и функция также является плотностью вероятности .

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

.

Обратно, если — неотрицательная п.в. функция, такая что , то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.

• Замена меры в интеграле Лебега:

,

где любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .

Плотность случайной величины

Пусть определено произвольное вероятностное пространство , и случайная величина (или случайный вектор). индуцирует вероятностную меру на , называемую распределением случайной величины .

Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.

Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:

.

Замечания

• Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.

• Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:

.

В одномерном случае:

.

Если , то , и

.

В одномерном случае:

.

• Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:

,

где — борелевская функция, так что определено и конечно.

Плотность преобразования случайной величины

Пусть — абсолютно непрерывная случайная величина, и — инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что , где — якобиан функции в точке . Тогда случайная величина также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:

.

В одномерном случае:

.

Примеры абсолютно непрерывных распределений

• Бета распределение;
• Распределение Вейбулла;
• Гамма распределение;
• Распределение Коши;
• Логнормальное распределение;
• Нормальное распределение;
• Непрерывное равномерное распределение
• Распределение Парето;
• Распределение Стьюдента;
• Распределение Фишера;
• Распределение хи-квадрат;
• Экспоненциальное распределение;
• Многомерное нормальное распределение.

См. также

• Функция вероятности