Линейно упорядоченное множество или цепь ― частично упорядоченное множество, в котором для любых двух элементов и имеет место или .

Важнейший частный случай линейно упорядоченных множеств ― вполне упорядоченные множества.

Связанные определения

Сечением линейно упорядоченного множества называется разбиение его на два подмножества и так, что , и для любых и , Классы и называются соответственно нижним и верхним классами сечения.

Различаются следующие типы сечений:

• скачок ― в нижнем классе имеется наибольший элемент, а в верхнем ― наименьший;
• дедекиндово сечение ― в верхнем классе нет наименьшего элемента;
• щель ― в нижнем классе нет наибольшего элемента, а в верхнем ― наименьшего.

Линейно упорядоченное множество называется непрерывным, если все его сечения дедекиндовы.

Подмножество линейно упорядоченного множества называется плотным, если каждый неодноэлементный интервал множества содержит элементы, принадлежащие .

Свойства

• Подмножество линейно упорядоченного множества само является линейно упорядоченным.
• Всякий максимальный (минимальный) элемент линейно упорядоченного множества оказывается наибольшим (наименьшим).
• Линейно упорядоченное множество вещественных чисел может быть охарактеризовано как непрерывное линейно упорядоченное множество в котором нет ни наибольшего, ни наименьшего элементов, но содержится счётное плотное подмножество.
• Всякое счётное линейно упорядоченное множество изоморфно некоторому подмножеству отрезка с порядком, унаследованным от .
• Решётка изоморфна подмножеству линейно упорядоченного множества целых чисел тогда и только тогда, когда каждая ее подрешетка является ретрактом.