Малая теорема Фубини — это теорема о почленном дифференцировании ряда монотонных функций, которая гласит:

Всюду сходящийся ряд монотонных (неубывающих) функций:

почти всюду допускает почленное дифференцирование:

Доказательство

Без ограничения общности можно считать все функции неотрицательными и равными нулю при ; в противном случае можно заменить на . Сумма ряда неубывающих функций есть, конечно, неубывающая функция.

Рассмотрим множество полной меры, на котором существуют все и . При и любом мы имеем:

Так как слагаемые, стоящие слева, неотрицательны, то при любом

Переходя к пределу при , получаем:

откуда, устремляя к и учитывая, что все неотрицательны, находим:

Покажем, что в действительности почти при всех здесь имеет места знак равенства. Найдём для заданного частную сумму ряда (1), для которой:

Так как разность

 — неубывающая функция, то и для всех

и, следовательно, ряд из неубывающих функций

сходится (даже равномерно) на всём отрезке .

Но тогда по доказанному и ряд производных сходится почти всюду. Общий член этого ряда почти всюду стремится к нулю, и, значит, почти всюду . Но если бы в неравенстве (2) стоял знак , то никакая последовательность частных сумм не могла бы иметь пределом . Поэтому в неравенстве (2) почти при каждом должен иметь место знак равенства, что мы и утверждали.