Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.
Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Определения
Пусть дана функция Тогда
- функция называется возраста́ющей на , если
-
- .
- функция называется стро́го возраста́ющей на , если
-
- .
- функция называется убыва́ющей на , если
-
- .
- функция называется стро́го убыва́ющей на , если
-
- .
(Строго) возрастающая или убывающая функция называется (строго) монотонной.
Другая терминология
Иногда возрастающие функции называют неубыва́ющими, а убывающие функции невозраста́ющими. Строго возрастающие функции тогда зовут просто возрастающими, а строго убывающие просто убывающими.
Свойства монотонных функций
Условия монотонности функции
- (Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
- возрастает на тогда и только тогда, когда
- убывает на тогда и только тогда, когда
- (Достаточное условие строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция непрерывна на и имеет в каждой точке производную Тогда
- если то строго возрастает на
- если то строго убывает на
Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале Точнее имеет место
- (Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть и всюду на интервале определена производная Тогда строго возрастает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
-
Аналогично, строго убывает на интервале тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:
-
Примеры
- Экспонента строго возрастает на всей числовой прямой.
- Парабола строго убывает на и строго возрастает на .
- Константа одновременно невозрастает и неубывает на всей числовой прямой.
- Канторова лестница — пример непрерывной монотонной функции, которая не является константой, но при этом имеет производную равную нулю в почти всех точках.
- Функция Минковского — пример сингулярной строго возрастающей функции.
См. также