Формула Симпсона (также Ньютона-Симпсона^[1]) относится к приёмам численного интегрирования. Получила название в честь британского математика Томаса Симпсона (1710—1761).

Суть метода заключается в приближении подынтегральной функции на отрезке интерполяционным многочленом второй степени , то есть приближение графика функции на отрезке параболой. Метод Симпсона имеет порядок погрешности 4 и алгебраический порядок точности 3.

Формула

Формулой Симпсона называется интеграл от интерполяционного многочлена второй степени на отрезке :

где , и  — значения функции в соответствующих точках (на концах отрезка и в его середине).

Погрешность

При условии, что у функции на отрезке существует четвёртая производная, погрешность , согласно найденной Джузеппе Пеано формуле равна:

В связи с тем, что значение зачастую неизвестно, для оценки погрешности используется следующее неравенство:

Представление в виде метода Рунге-Кутты

Формулу Симпсона можно представить в виде таблицы метода Рунге-Кутты следующим образом:

Составная формула (формула Котеса)

Для более точного вычисления интеграла, интервал разбивают на отрезков одинаковой длины и применяют формулу Симпсона на каждом из них. Значение исходного интеграла является суммой результатов интегрирования на всех отрезках.

где  — величина шага, а  — узлы интегрирования, границы элементарных отрезков, на которых применяется формула Симпсона. Обычно для равномерной сетки данную формулу записывают в других обозначениях (отрезок разбит на узлов) в виде

Также формулу можно записать используя только известные значения функции, то есть значения в узлах:

где означает что индекс меняется от единицы с шагом, равным двум. Следует обратить внимание на удвоение коэффициента перед суммой. Это связано с тем, что в данном случае роль промежуточных узлов играют исходные узлы интегрирования.

Общая погрешность при интегрировании по отрезку с шагом (при этом, в частности, , ) определяется по формуле^[2]:

.

При невозможности оценить погрешность с помощью максимума четвёртой производной (например, на заданном отрезке она не существует, либо стремится к бесконечности), можно использовать более грубую оценку:

.

Примечания