В термодинамике и физике твёрдого тела модель Дебая — метод, развитый Дебаем в 1912 г. для оценки фононного вклада в теплоёмкость твёрдых тел. Модель Дебая рассматривает колебания кристаллической решётки как газ квазичастиц — фононов. Эта модель правильно предсказывает теплоёмкость при низких температурах, которая, согласно закону Дебая, пропорциональна . В пределе высоких температур теплоёмкость стремится к 3R, согласно закону Дюлонга — Пти.

При тепловом равновесии энергия E набора осцилляторов с различными частотами равна сумме их энергий:

где — число мод нормальных колебаний на единицу длины интервала частот, — количество осцилляторов в твёрдом теле, колеблющихся с частотой ω.

Функция плотности в трёхмерном случае имеет вид:

где V — объём твёрдого тела, — скорость звука в нём.

Значение квантовых чисел вычисляются по формуле Планка:

Тогда энергия запишется в виде

где — температура Дебая, — число атомов в твёрдом теле, — постоянная Больцмана.

Дифференцируя внутреннюю энергию по температуре получим:

Молярная теплоёмкость твёрдого тела в теории Дебая

В модели Дебая учтено, что теплоёмкость твёрдого тела — это параметр равновесного состояния термодинамической системы. Поэтому волны, возбуждаемые в твёрдом теле элементарными осцилляторами, не могут переносить энергию. То есть они являются стоячими волнами. Если твёрдое тело выбрать в виде прямоугольного параллелепипеда с рёбрами a, b, c, то условия существования стоячих волн можно записать в виде:

n₁•λ_x/2=a; n₂•λ_y/2=b; n₃•λ_z/2=c; (n₁, n₂, n₃ — целые числа)

Перейдём к пространству, построенному на волновых векторах. Поскольку K=2π/λ, то

K_x=2π/λ_x=π•n₁/a; K_y=2π/λ_y=π•n₂/b; K_z=2π/λ_z=π•n₃/c

Таким образом, в твёрдом теле могут существовать осцилляторы, с частотами, изменяющимися дискретно. Одному осциллятору в К-пространстве соответствует ячейка с объёмом

τ=∆K_x•∆K_y•∆K_z=,

где

∆K_x=π/a; ∆K_y=π/b; ∆K_z=π/c

В к-пространстве осцилляторам с частотами в интервале (ω, ω+dω) соответствует один октант сферического слоя с объёмом

dV_k=4πK²dK/8=πK²dK/2

В этом объёме количество осцилляторов равно

dN_k=dV_k/τ=

Учтём, что каждый осциллятор генерирует 3 волны: 2 поперечные и одну продольную. При этом K_||=ω/v_||, K_⊥=ω/v_⊥

Найдём внутреннюю энергию одного моля твёрдого тела. Для этого запишем взаимосвязь между волновым числом, скоростью распространения волн и частотой.

Колебания в твёрдом теле ограничены максимальным значением частоты . Определим граничную частоту из условия:

Отсюда:

<є> — средняя энергия квантового осциллятора (см. модель теплоёмкости Эйнштейна).

Кв — постоянная Больцмана.

Na — число Авогадро.

В последнем выражении сделаем следующую замену переменных:

; ℏω=K_Вθ; ;

Θ — температура Дебая

Теперь для U_M получим

Наконец, для молярной теплоёмкости получаем

C=dU_M/dT=3R

Легко проверить, что при условии T→∞ C→3R, а при условии T→0 C→~T³

Интеграл может быть взят методами теории функций комплексной переменной или с использованием дзета-функции Римана. Таким образом, теория Дебая соответствует результатам экспериментов.

Литература

• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. — М.: Физматлит, 2005. — 616 с. — («Теоретическая физика», том V). — ISBN 5-9221-0054-8