Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.

Таким образом, моноидом называется множество , на котором задана бинарная ассоциативная операция, обычно именуемая умножением, и в котором существует такой элемент , что для любого . Элемент называется единицей и часто обозначается . В любом моноиде имеется ровно одна единица.

Примеры

• Множество всех отображений произвольного множества в себя является моноидом относительно операции последовательного выполнения (композиции) отображений. Единицей служит тождественное отображение.
• Множество эндоморфизмов любой универсальной алгебры является моноидом относительно операции суперпозиции, единица — тождественный эндоморфизм.
• Всякая группа является моноидом.

Свойства

• Всякую полугруппу без единицы можно вложить в моноид.
• Всякий моноид можно представить как моноид всех эндоморфизмов некоторой универсальной алгебры.
• Произвольный моноид можно рассматривать также как категорию с одним объектом.
• Для любого элемента моноида можно определить нулевую степень как ^[1].

Примечания

См. также

• Алгебраическая система
• Моноидальная категория