18-10-2023
Подмно́жество в теории множеств — это понятие части множества.
Содержание |
Множество называется подмножеством множества если все элементы являются также элементами Любое множество является своим подмножеством: Если при этом , то называется собственным подмножеством По определению полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества: .
Множество всех подмножеств множества обозначается или , так как оно соответствует множеству отображений из в Иногда его называют множеством-степенью (англ. power set) для . Мощность множества-степени, по теореме Кантора, всегда больше, чем у исходного множества. В категории множеств — это контравариантный функтор, отображающий функцию в при этом отображение ставит в соответствие каждому подмножеству его полный прообраз в
Примеры:
Из определения прямо следует, что пустое множество обязано быть подмножеством любого множества. Также, очевидно, любое множество является своим подмножеством:
Если , и , , то называется со́бственным или нетривиа́льным подмножеством.
Отношение подмножества обладает целым рядом свойств[1].
Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у -элементного множества существует подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а, значит, общее количество подмножеств будет -кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества -элементного множества из элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом . Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать способами, второй способом, и так далее, и, наконец, -й элемент можно выбрать способом. Таким образом мы получим последовательность из элементов, и ровно таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется таких подмножеств.
Тогда
Надмножество.