В математике, неподвижная точка отображения — точка, которую отображение переводит в неё же, иными словами, решение уравнения .

К примеру, отображение имеет неподвижные точки и , поскольку и .

Неподвижные точки есть не у всякого отображения — скажем, отображение вещественной прямой в себя неподвижных точек не имеет.

Точки, возвращающиеся в себя после определённого числа итераций, то есть, решения уравнения

называются периодическими (в частности, неподвижные точки — это периодические точки периода 1).

Притягивающие неподвижные точки

Неподвижная точка x=f(x) отображения f — притягивающая, если итерации любой начальной точки y, достаточно близкой к x, будут к x стремиться:

(При этом, обычно, требуют, чтобы итерации y не покидали некоторой большей окрестности точки x — то есть, чтобы точка x была асимптотически устойчива.)

В частности, достаточным условием, чтобы точка была притягивающей, является условие на производную: |f'(x)|<1.

Метод Ньютона

Одним из применений идеи притягивающей неподвижной точки является метод Ньютона: искомое решение оказывается притягивающей неподвижной точкой построенного отображения, и потому может быть найдено как предел (очень быстро сходящейся) последовательности итераций.

Наиболее известное применение этого метода нахождение квадратного корня из числа a>0 как последовательности итераций отображения

См. также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема Брауэра
• Особая точка дифференциального уравнения
• Теорема Шаудера-Тихонова
• Теорема о неподвижных точках нормальных функций (англ.)