Теорема Банаха о неподвижной точке — утверждение в метрической геометрии, гарантирующее наличие и единственность неподвижной точки у определённого класса отображений метрических пространств, также содержит конструктивный метод нахождения этой точки. Теорема названа в честь Стефана Банаха, польского математика, установившего это утверждение в 1922 году.

Теорема

Пусть  — непустое полное метрическое пространство. Пусть  — сжимающее отображение на , то есть существует число такое, что

для всех из . Тогда у отображения существует, и притом ровно одна неподвижная точка из (неподвижная означает ).

Число часто называют коэффициентом сжатия.

Если число равно 1, то есть отображение не сжимающее, теорема может не выполняться.

Доказательство

Возьмём произвольный и рассмотрим последовательность . Получим . Покажем, что эта последовательность фундаментальная. В самом деле:

.

Таким образом, по неравенству треугольника для

.

Но при , значит для .

Таким образом, для .

Значит фундаментальна. Но так как полно, то . Тогда берём и переходим к пределу, так как сжимающий оператор — непрерывная функция. Существование доказано.

Докажем единственность. Предположим обратное, то есть пусть (так как и  — неподвижные точки) . Таким образом, доказана и единственность

Применение

Теорема Банаха используется в теории дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решения некоторых классов уравнений. Широкое применение теорема находит в численных методах, таких как метод Якоби, метод Гаусса — Зейделя, метод Ньютона также можно рассматривать с позиции теоремы Банаха. Также теорема нашла применение в теории фракталов.