Теорема о неявной функции — общее название для теорем, гарантирующих локальное существование и описывающих свойства неявной функции, т. е. функции

,   ,

заданной уравнением

,   

и значение фиксированно.

Одномерный случай

Простейшая теорема о неявной функции состоит в следующем.

Обычно дополнительно предполагается, что функция непрерывно дифференцируема, в этом случае условие монотонности следует из того, что , здесь обозначает частную производную по . Более того, в этом случае производная функции может быть вычислена по формуле

Многомерный случай

Пусть и суть - и -мерные евклидовы пространства с фиксированными системами координат, точки которых соответственно и . Пусть отображает некоторую окрестность точки в пространство и  — координатные функции (от переменных ) отображения , то есть .

Предположим, что и отображение является раз непрерывно дифференцируемым в окрестности , а якобиан отображения не равен нулю в точке , т.е. определитель матрицы не равен нулю. Тогда существуют окрестности и точек и соответственно в пространствах и , причем , и единственное отображение , такие, что для всех выполняется тождество . При этом и отображение является раз непрерывно дифференцируемым на .

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В., Элементы теории функций и функционального анализа, 5 изд., М., 1981;
• Зорич В. А., Математический анализ, Любое издание.
• Люстерник Л. А., Соболев В. И., Элементы функционального анализа, 2 изд., М., 1965;
• Никольский С. М., Курс математического анализа, 2 изд., т. 1—2, М., 1975;
• Шварц Л., Анализ, пер. с франц., т. 1, М., 1972;
• Ильин В. А., Позняк Э. Г., Основы математического анализа, 3 изд., ч. 1, М., 1971.