13-04-2023
Норми́рование — отображение элементов поля F в некоторое упорядоченное поле P x→||x||, обладающее следующими свойствами:
Если вместо 3) выполняется более сильное условие:
Значение называется нормой элемента x. Если упорядоченное поле P является полем вещественных чисел R, то нормирование часто называют абсолютным значением.
Содержание |
Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов x и y из поля F имеем:
|(x+y)n|=|xn+…Cnixnyi+…yn|≤(n+1)A(max(|x|,|y|)n
Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при n→∞ получаем условие 3a). Обратное утверждение очевидно.
Из свойств 1-3 немедленно следует, что определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля F как норму разности ||x-y|| мы превращеем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Если при этом они определяют одинаковую топологию в F, то такие нормы называются зависимыми.
Как и для любого метрического пространства можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле F изоморфно вкладывается в полное нормированное поле F*, то есть существует изоморфизм . Норма в F* продолжает норму в F, то есть для каждого x из F: , причём F плотно в F* относительно этой нормы. Любое такое поле F* определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на F; оно называется пополнением поля F.
Пример. Пополнением поля рациональных чисел Q с p-адической метрикой является поле p-адических чисел Qp.
Нормирование.