Полное пространство — метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится (к элементу этого же пространства).

В большинстве случаев, рассматривают именно полные метрические пространства. Для неполных пространств существует операция пополнения, дающая возможность рассматривать исходное пространство как плотное множество в своём пополнении. Операция пополнения во многом аналогична операции замыкания для подмножеств.

Пополнение

Всякое метрическое пространство можно вложить в полное пространство таким образом, что метрика продолжает метрику , а подпространство всюду плотно в . Такое пространство называется пополнением и обычно обозначается .

Построение

Для метрического пространства , на множестве фундаментальных последовательностей в можно ввести отношение эквивалентности

Множество классов эквивалентности с метрикой, определённой

является метрическим пространством. Само пространство изометрически вкладывается в него следующим образом: точке соответствует класс постоянной последовательности . Получившееся пространство и будет пополнением .

Свойства

• Пополнение метрического пространства единственно, с точностью до изометрии.
• Пополнение метрического пространства изометрично замыканию образа при вложении Куратовского
• Полнота наследуется замкнутыми подмножествами полного метрического пространства.
• Полные метрические пространства являются пространствами второй категории Бэра. То есть если полное пространство исчерпывается счётным объединением замкнутых множеств, то хотя бы у одного из них есть внутренние точки.
• Критерий компактности метрического пространства: метрическое пространство компактно тогда и только тогда, когда оно полно и вполне ограничено.
• Теорема Банаха о неподвижной точке. Сжимающие отображения полного метрического пространства в себя имеют неподвижную точку.

Примеры

Полные пространства

• — пример полного числового метрического пространства, в смысле стандартной метрики, введённой на множестве вещественных (действительных чисел). Критерий полноты метрического пространства в случае носит особое название .
• Вообще, любое конечномерное евклидово или унитарное пространство полно.
• Любое банахово пространство, в частности гильбертово пространство, полно по определению.

1. В частности, полным является банахово пространство непрерывных на отрезке функций с равномерной метрикой.

Неполные пространства

• Рациональные числа со стандартным расстоянием являются неполным метрического пространством. Результатом пополнения этого пространства будет множество всех вещественных чисел .
• Также, рациональные числа могут быть снабжены p-адическим нормированием, пополнение по которому приводит к полю p-адических чисел .
• Пространство интегрируемых (по Риману) на отрезке функций. Результатом пополнения этого пространства будет пространство интегрируемых по Лебегу функций, заданных на том же отрезке.

Вариации и обобщения

• Если имеет алгебраическую структуру, согласованную с метрикой, например топологического кольца, то эта структура естественным образом переносится и на его пополнение.

Литература

• Зорич В.А. "Математический анализ", т.2, гл.IX, §5.