Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение ее состояний.

Определение

В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Кроме того, в пространстве состояний относительно просто работать с MIMO-системами.

Линейные непрерывные системы

Для случая линейной системы с входами, выходами и переменными состояния описание имеет вид:

где

; ; ;

, , , , .

— вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы

— вектор выхода,

— вектор управления,

— матрица системы,

— матрица управления,

— матрица выхода и

— матрица прямой связи.

Часто матрица является нулевой, это означает, что в системе нет явной прямой связи.

Дискретные системы

Для дискретных систем запись уравнений в пространстве состояний основывается не на дифференциальных, а на разностных уравнениях.

Нелинейные системы

Нелинейная динамическая система n-го порядка может быть описана в виде системы из n уравнений 1-го порядка:

или в более компактной форме:

Первое уравнение — это уравнение состояния, второе — уравнение выхода.

Линеаризация

В некоторых случаях возможна линеаризация описания динамической системы для окрестности рабочей точки .

В установившемся режиме для рабочей точки справедливо следующее выражение:

Вводя обозначения:

Разложение уравнения состояния в ряд Тейлора, ограниченное первыми двумя членами даёт следующее выражение:

При взятии частных производных вектор-функции по вектору переменных состояний и вектору входных воздействий получаются матрицы Якоби соответствующих систем функций:

Аналогично для функции выхода:

Учитывая , линеаризованное описание динамической системы в окрестности рабочей точки примет вид:

где

Примеры

Модель в пространстве состояний для маятника

Маятник является классической свободной нелинейной системой. Математически движение маятника описывается следующим соотношением:

где

• — угол отклонения маятника.
• — приведённая масса маятника
• — ускорение свободного падения
• — коэффициент трения в подшипнике подвеса
• — длина подвеса маятника

В таком случае уравнения в пространстве состояний будут иметь вид:

где

• — угол отклонения маятника
• — угловая скорость маятника
• — угловое ускорение маятника

Запись уравнений состояния в общем виде:

Линеаризация модели маятника

Линеаризованная матрица системы для модели маятника в окрестности точки равновесия имеет вид:

При отсутствии трения в подвесе ) получим уравнение движения математического маятника:

См. также

• Теория управления
• Фазовое пространство
• Критерий устойчивости в пространстве состояний
• Пространство понятий
• Система отсчёта

Ссылки

• 　Исходные дифференциальные уравнения САР