Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного пропорциональны сходственным сторонам другого треугольника.
Признаки подобия треугольников
Признаки подобия треугольников — геометрические признаки, позволяющие установить, что два треугольника являются подобными без использования всех элементов.
Первый признак
|
Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то треугольники подобны.
|
То есть ∆ABC ~ ∆A1B1C1 <=> ∠A=∠A1, ∠B=∠B1.
Второй признак
|
Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, тогда эти треугольники подобны.
|
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, ∠A=∠A1, = .
Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.
Доказательство
1) Рассмотрим ∆ABC2, в котором ∠BAC2=∠A1 и ∠ABC2=∠B1:
∆ABC2 ∆A1B1C1 (первый признак) => = .
2) По условию:
= => AC=AC2 => ∆ABC = ∆ABC2 (первый признак) =>
∠B=∠ABC2=∠B1 => ∆ABC ∆A1B1C1 (первый признак).
Третий признак
|
Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сходственным сторонам другого, то треугольники подобны.
|
Дано: ∆ABC и ∆A1B1C1, = = .
Доказать: ∆ABC ∆A1B1C1.
Доказательство
1) Рассмотрим ∆ABC2, в котором ∠BAC2=∠A1 и ∠ABC2=∠B1:
∆ABC2 ∆A1B1C1 (первый признак) => = = .
2) По условию:
= = => AC=AC
2, BC=BC
2 => ∆ABC = ∆ABC
2 (
третий признак);
∆ABC
2 ∆A
1B
1C
1 => ∆ABC ∆A
1B
1C
1.
- По острому углу — см. первый признак;
- По двум катетам — см. второй признак;
- По катету и гипотенузе — см. третий признак.
Свойства подобных треугольников
Треугольники, на которые высота, опущенная из прямого угла, делит прямоугольный треугольник, подобны всему треугольнику по первому признаку, а значит:
- Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна среднему геометрическому проекций катетов на гипотенузу,
- Катет равен среднему геометрическому гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.
Связанные определения
- Коэффициент подобия — число k, равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.
- Сходственные стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.
Литература
- Геометрия 7-9/Л. С. Атанасян и др. — 12-е изд. — М.: Просвещение, 2002. — 384 c.: ил.
См. также
Ссылки
- Подобие треугольников
- Признаки подобия из учебника за восьмой класс