08-09-2023
Прямое или декартово произведение — множество, элементами которого являются всевозможные упорядоченные пары элементов исходных двух множеств. Данное понятие употребляется не только в теории множеств, но также в алгебре, топологии и прочих разделах математики благодаря тому, что прямое произведение часто наследует структуры (алгебраические, топологические и т. д.), существующие на перемножаемых множествах.
Содержание |
в | в | в | в | в | в | в | в |
---|---|---|---|---|---|---|---|
и | и | и | и | и | и | и | и |
к | к | к | к | к | к | к | к |
Произведение множества {в, и, к} на множество цветов радуги |
Пусть даны два множества и . Прямое произведение множества и множества есть такое множество , элементами которого являются упорядоченные пары для всевозможных и .
Отображения произведения множеств в его множители ( и ) называют координатными функциями.
Аналогично строятся произведения нескольких множеств.
Строго говоря, тождество ассоциативности не имеет места, но в силу существования естественного взаимно однозначного соответствия между множествами и этим различием можно зачастую пренебречь.
000 | 001 | 002 | 010 | 011 | 012 | 020 | 021 | 022 |
100 | 101 | 102 | 110 | 111 | 112 | 120 | 121 | 122 |
200 | 201 | 202 | 210 | 211 | 212 | 220 | 221 | 222 |
{0, 1, 2}3, 33 = 27 элементов |
---|
-я Декартова степень множества определяется для целых неотрицательных , как -кратное Декартово произведение на себя:
При положительных Декартова степень состоит из всех упорядоченных наборов (кортежей) элементов из длины .
При , Декартова степень по определению содержит единственный элемент — пустой кортеж.
Декартово произведение конечного числа множеств определяется как множество всех возможных кортежей длины (составленных из элементов этих множеств), в которых каждый элемент принадлежит соответствующему ему по номеру множеству . В частности, для нуля множеств результатом является множество, содержащее единственный элемент — пустой кортеж. Из этого определения как частный случай также следует определение бинарной операции декартова произведения (прямого произведения двух множеств).
Для семейства множеств с возможно, бесконечным индексным множеством Декартово произведение можно определить как функцию сопоставляющую каждому элементу элемент множества .
Пусть — отображение из в , а — отображение из в . Их прямым произведением называется отображение из в : .
Аналогично вышеизложенному, данное определение обобщается на многократные и бесконечные произведения.
Прямое (декартово) произведение двух групп и — это группа из всех пар элементов с операцией покомпонентного умножения: . Эта группа обозначается как . Сомножители и изоморфны двум нормальным подгруппам своего произведения, и соответственно. Пересечение этих подгрупп состоит из одного элемента , который является единицей группы-произведения. Координатные функции произведения групп являются гомоморфизмами.
Это определение распространяется на произвольное конечное число перемножаемых групп; ассоциативность декартова произведения следует из ассоциативности операций перемножаемых групп.
Однако, для бесконечного числа перемножаемых групп понятия декартового и прямого произведения принято различать. В общем случае, , где и . (Операция в правой части — это операция группы .) Единицей группы-произведения будет последовательность, составленная из единиц всех перемножаемых групп: . Например, для счётного числа групп: , где в правой части стоит множество всех бесконечных двоичных последовательностей.
Подгруппа на множестве всех , носитель которых (то есть множество ) конечен, называется прямым произведением. Например, прямое произведение того же самого набора множеств содержит все двоичные последовательности с конечным числом единиц, а их можно трактовать как двоичные представления натуральных чисел.
Аналогично произведению групп, можно определить произведения колец, алгебр, модулей и линейных пространств, причём в определении прямого произведения (см. выше) следует заменить нулём. Однако, как правило, произведения этих структур называют прямой суммой.
Пусть и — два топологических пространства. Топология произведения задаётся базой, состоящей из всевозможных произведений , где — открытое подмножество и — открытое подмножество .
Определение легко обобщается на случай произведения нескольких пространств. Для бесконечного произведения определение усложняется. Определим открытый цилиндр , где и — открытое подмножество .
Топология бесконечного произведения будет задаваться базой, составленной из всевозможных пересечений конечного числа открытых цилиндров (такая топология аналогична компактно-открытой топологии пространств отображений если считать индексное множество имеющим дискретную топологию).
Теорема Тихонова утверждает компактность произведений любого количества компактных пространств; однако для бесконечных произведений её не удаётся доказать без использования аксиомы выбора (или равносильных ей утверждений теории множеств).
Также, теорема Александрова показывает, что любое топологическое пространство можно вложить в (бесконечное) произведение связных двоеточий, если только выполнена аксиома Колмогорова.
— | | |
| — | |
| | |
| — | |
Множество вершин прямого произведения двух графов и задаётся как произведение вершин графов сомножителей. Рёбрами будут соединены следующие па́ры вершин:
Иначе говоря, множество рёбер произведения графов является объединением двух произведений: рёбер первого на вершины второго, и вершин первого на рёбра второго.
Идея прямого произведения получила дальнейшее развитие в теории категорий, где она послужила основой для понятия произведения объектов. Неформально, произведение двух объектов и — это наиболее общий объект в данной категории, для которого существуют проекции на и . Во многих категориях (множеств, групп, графов, …) произведением объектов является именно их прямое произведение. Важно, что в большинстве случаев важно не столько конкретное определение прямого произведения, сколько указанное выше свойство универсальности. Различные определения будут давать при этом изоморфные объекты.
Прямое произведение множеств.