Над множествами, как и над многими другими математическими объектами, можно совершать различные операции, которые иногда называют теоретико-множественными операциями или сет-операциями. В результате операций из исходных множеств получаются новые.

Сравнение множеств

Множество содержится во множестве (множество включает множество ), если каждый элемент есть элемент :

В этом случае называется подмножеством ,  — надмножеством . Если и , то называется собственным подмножеством . Заметим, что . По определению .

Два множества называются равными, если они являются подмножествами друг друга:

Иногда для того, чтобы подчеркнуть, что множества могут быть равны, используется запись:

Операции над множествами

Бинарные операции

Ниже перечислены основные операции над множествами:

• пересечение:

• объединение:

Если множества и не пересекаются: , то их объединение обозначают также: .

• разность (дополнение):

• симметрическая разность:

• Декартово или прямое произведение:

Для лучшего понимания смысла этих операций используются диаграммы Эйлера — Венна, на которых представлены результаты операций над геометрическими фигурами как множествами точек.

Унарные операции

• Абсолютное дополнение:

Операция дополнения подразумевает некоторый универсум (универсальное множество , которое содержит ):

Относительным же дополнением называется А\В (см.выше):

• Мощность множества:

Результатом является кардинальное число (для конечных множеств — натуральное).

• Множество всех подмножеств (булеан):

Обозначение происходит из того, что в случае конечных множеств.

Приоритет выполнения операций

Сначала выполняются операции абсолютного дополнения, затем пересечения, затем объединения и разности, которые имеют одинаковый приоритет. Последовательность выполнения операций может быть изменена скобками.