Смешанный объём — числовая характеристика набора из выпуклых тел в -мерном Евлидовом пространстве.

Смешанный объём набора обычо обозначается

.

Определение

Пусть набор из выпуклых тел в и положительные вещественные числа. Обозначим через объём тела

где "" обозанчает сумму Минковского и

Функция является однородным многочеленом степени . Коеффициент этого многочлена при по определению равен .

Заметим что

Свойства

• Для произвольный неотрицательных чисел ,

• Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
• Смешанный объём монотонен по включению тел.
• Смешанный объём непрерывен относително метрики Хаусдорфа.
• Смешанный объём неотрицателен.
  • Более того тогда и только тогда, когда в каждом можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейнонезависимы.
• Для неотрицательного целого , смешанный объём копий выпуклого тела в и копий единичного шара выражется через -тую среднюю поперечную меру . В частности
  • Смешанный объём набора из копий равен обычному объёму .
  • Смешанный объём набора из копий и единичного шара равен площади поверхности .
• Типичное число решений системы полиномиальных уравнений равно смешанному объёму многогранников Ньютона .
• неравенство Минковского

• неравенство Александрова — Фенхеля